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Pensar y observar los anillos de Saturno con muchas miradas
Los vuelos espaciales que nos sirven de ojos para observar de cerca los anillos de Saturno, por ejemplo, son causa de sueños bonitos y alegrías jugosas como nuevas músicas en ocasiones o variaciones de aires ya entrevistos. Muchas miradas significa a la postre muchas visiones y algunas certeras 
analogías. Sí las analogías se escriben en matemática resultan tan lúcidas y deleitosas. Las lunas de Saturno que forman parte del vecindario de los anillos influyen con periodicidad la ganancia o pérdida de materiales de estas estructuras, en relativamente poco tiempo.
He visto un modelo matemático escrito en forma de ecuaciones diferenciales de un sistema dinámico forzado, el modelo matemático está preparado de una manera rigurosa y describe con precisión, eso creo, la observación del fenómeno.
Los elementos constituyentes de los anillos son muy activos, al menos en cuestión de la dinámica externa, que aquí no me refiero a su astrofísica. Continuos choques con resultado de ruptura o de agregación de materiales se están produciendo en ese lejano mundo que tan tranquilo y pacífico nos parece. En este intercambio los fragmentos grandes se hacen con los pequeños o se deshacen de ellos, se cambian órbitas y ocurren otras mutaciones dinámicas. La misión Cassini es nuestro ojo para mostrarnos algunos de estos eventos y darnos ‘materia’ para pensar en la dinámica de esta materia e intentar hacer predicciones además de comprender lo que pasa, o al revés, que eso está en nuestra naturaleza. La simulación numérica es una herramienta preciosa para este menester, y en ocasiones sirve para explicar lo que nos muestra nuestro ojo Cassini.
Los matemáticos que han realizado el modelo matemático han buscado analogía con el modelo presa-depredador y eso da una idea del ingenio y la agudeza intelectual que hay que poner al servicio de los talentos científicos de los estudiosos, cualesquiera que estos sean.
Aléjese el lector de esta retórica y acérquese al conocimiento mucho más conmovedor de las estructuras que están a nuestra mano gracias a los trabajos de personas que construyen nuestro conocimiento del mundo.
La música celestial siempre.
Maxwell, una mirada literaria de la física
He leído la reseña de un libro que espero tener pronto a mi vera, me gusta la reseña, no sé si me será tan atractivo el libro. Me gusta el cruce de discursos y uno de ellos es la lectura literaria de las ecuaciones. De las ecuaciones de Maxwell (1831-1879) por ejemplo.
Esto no tiene nada que ver, creo yo, con el rigor, o la mirada matemática, o la lectura física y matemática de la naturaleza, esa lectura no se obvia, y además existe, entonces quizá quiera decir que se pueden hacer más de 1 o 2 lecturas. Se trata de un original análisis de la obra científica de Maxwell utilizando métodos literarios, los métodos de la poética. La poesía está ligada de una manera indisoluble a las palabras con las que se escribe y su significado depende de ellas. Las verdades matemáticas no dependen de la manera en que se expresen. Existen malas matemáticas bien expresadas y buenas matemáticas no muy bien escritas. Lo cierto es que debe haber muy pocos poemas buenos mal escritos, para una contradicción, suena raro y mal, pero seguro que hay alguno, y no me imagino cómo deben ser estos poetas.
En un artículo sobre la obra matemática de Maxwell no he dejado de aprender y sorprenderme de la originalidad (al menos para mí) del estudio, al principio lo miré con cierta prevención, pero luego me gustó el trabajo. Se trata de la reseña de un libro que menciona el carácter literario bueno de las buenas ecuaciones matemáticas de Maxwell.
It seems to be generally assumed that the literary and the scientific aspects of the work will factor, so to speak, and remain separable—thus the literary form will not bear significantly upon the scientific content. As it turns out, Maxwell in the Treatise is demonstrating precisely the opposite: so far from being divided, Maxwell’s literary and scientific efforts are conjoined, in their aims as in their means.
«Figures of Thought: A Literary Appreciation of Maxwell’s Treatise on Electricity and Magnetism»
Thomas K. Simpson
Esta nota que no alude al libro principal, el de Maxwell, sino a la reseña del trabajo sobre Maxwell, digamos que es una mirada de tercera generación. Merece la pena el montón de ideas buenas y de visiones poco habituales de las cosas que se pueden encontrar leyendo algunos buenos artículos, que espero me sean útiles para avanzar en la creación de mi mundo cognitivo.
Átomos y vacío
Este es un título para despistar y molestar un poco a quienes buscan la vía fácil. Lo fácil casi siempre solo es fácil, a mí me gusta más entretenerme con lo divertido. No voy a tratar ni de átomos ni de vacío, o tal vez sí…
Los materiales de reciente trato son una fuente conocimiento emergente que me interesa mucho. ¿Quién dijo que se había acabado la física? La física por la vía de las aplicaciones y por la vía de la superación de retos intelectuales que siempre supone el planteamiento de nuevos retos me parece, contra el pronóstico de los finalistas, que tiene un ritmo de desarrollo bastante interesante y rápido (bueno eso relativamente como siempre). En la idea de la interacción intelectual como línea de trabajo, que me parece que es lo que ahora toca, como en otro tiempo tocó la separación (y sin haber renunciado, sino al contrario, a la especialización), parece que una vez que cada cosa se reconoce en sí misma, y pierde el temor de la dilución, se puede reunir.
Me da le impresión, y lo he comentado varias veces en el ambiente que he procurado crear en estos breves, que los hallazgos en nuevos materiales pueden ser un camino muy significativo para el desarrollo de nuevas visiones del mundo.
El estudio de la materia y el desarrollo de materiales en escala cuántica se está desarrollando simultáneamente en física teórica y experimental, en química física, en cristalografía…
Las analogías matemáticas y la topología se están revelando muy interesantes en el ambiente de los nanomateriales, cuyo ejemplo más nombrado es el grafeno, pero no solo, estos estados de la materia que resultan nuevos o poco familiares para la mayoría de nosotros, forman parte de la vida cotidiana de investigadores de todo el mundo. Seguramente empezarán a ser más usuales o frecuentes cuando el mundo se adentre plenamente en la etapa de la electrónica orgánica.
Los estudiosos de la estructura de la materia tienen mucho terreno sobre el que trabajar, los estadios cuánticos de la materia lejos del equilibrio, los cambios observables producidos por las interacciones spin-órbita.
En fin, que puedo decir para cerrar, sino aquello con lo que empecé, átomos y vacío, tenemos átomos y vacío
Personas de Mecánica Celeste
Leí una reseña biográfica sobre Jürgen Moser (1928-1999) que me gustó. Desde hace años es una persona que me resulta entrañable, uno de esos científicos que están cerca de lo que me puedo imaginar que es un pensador, y también de lo que puedo opinar que es persona, en el sentido más hermoso y noble. He conocido quienes le trataron, estudiantes suyos y científicos que trabajaron con él y todos hablan bien.
Una de esas personas que es un regalo para quienes le rodean, desde su Prusia natal hasta el Zurich del final de sus días dejó registros de buen matemático y matemático bueno. Sus trabajos sobre mecánica celeste son fantásticos, en especial me gustan los que tratan sobre la estabilidad del sistema solar. Este matemático piensa bien, explica bien y escribe bien.
Un buen maestro, leer cualquiera de sus trabajos desde los más técnicos a los divulgativos proporciona conocimiento que es una de las formas de la dicha. Como la luz. El inmenso placer de ver, y ver no es fácil, a veces ni siquiera es fácil mirar.
Me gustaría recomendar sus escritos amenamente difíciles pero no difícilmente amenas, sus aportaciones a la mecánica celeste y al estudio de los sistemas dinámicos en general es importante y recibió por ello gran número de premios y reconocimiento, en vida. La inicial de su apellido forma parte del teorema KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser).
El problema sobre la estabilidad en mecánica celeste comenzó en tiempos de Newton, pero su formulación actual comenzó en tiempos de Poincaré al subrayar la importancia de los movimientos aleatorios ‘random motions’ el caos en términos comunes, y fue ampliado por Birkhoff. Aunque una parte del problema general no estaba resuelta como Moser explicó en sus trabajos históricos. La cuestión de las soluciones cuasi-periódicas en el problema de n-cuerpos, los toros invariantes.
Moser fue además uno de los mejores analistas del siglo pasado, y sus escritos en este campo como en los demás fueron extraordinariamente bien escritos y tienen gran belleza.
Qué suerte tenemos con que nazcan personas de esta talla.
Ideas físicas -y matemáticas- bonitas (XVIII): el calor
Carnot (1796-1832) reflexionó de una manera muy fructuosa sobre los dos principios de la termodinámica, y aquí tomo la voz principio en el sentido más moderno, en el sentido de la física de principios, de Poincaré y Einstein, a quienes debo algunos materiales para estas notas. 
En la Place Carnot de Nancy recuerdo el talento que he encontrado tanto como el tiempo desapacible que siempre o casi siempre parece sobrecoger a la ciudad. Carnot escribió una memoria sobre los dos principios de la termodinámica que pasaron bastante desapercibidos en su tiempo, seguramente, según leo, porque resultaba demasiado académica en un tiempo en que lo que importaba era la discusión sobre las máquinas de vapor. Tampoco Carnot se prodigó demasiado ni se hizo notar entre sus coetáneos científicos. Quienes opinaron que tal vez tras la publicación de su libro cambió de idea sobre la naturaleza del calor, y el fluido imponderable asociado a él, el calórico. El hermano Hippolyte se guardó documentación que Sadi no había publicado y la retuvo durante muchísimos años, hasta que tal vez incentivado por sus descendientes se animó a dar a conocer las notas que custodiaba.
En 1878 con Carnot fallecido, y ya muy lejos de la publicación de su libro en que consideraba la conservación del calórico como un elemento crucial de su teoría, se publicaron escritos de Carnot en los que estaba ya en una posición alejada de su primer pensamiento «La chaleur n’est autre chose que la puissance motrice, ou plutôt que le mouvement, qui a changé de forme. C’est un mouvement dans les particules des corps. Partout où il y a destruction de puissance motrice, il y a, en même temps, production de chaleur en quantité précisément proportionelle à la quantitè de puissance motrice détruite. Réciproquement, partout où il y a destruction de chaleur, il y a production de puissance motrice» La idea general que sostiene Carnot en este periodo ya de madurez es que la potencia motriz es una cantidad invariable de la naturaleza, en sentido estricto pues ni se crea ni se destruye, pero cambia de forma.
Estas ideas tan alejadas ya del calórico, presagian la declinación de los fluidos imponderables cuyo último representante, el éter, terminará por ser derrotado no mucho tiempo después.
Poincaré elogió la manera clara y precisa con que Carnot deslizó el principio de conservación de la energía. Y ciertamente concuerdo con él, nunca estuve en desacuerdo en ese punto, pero intento darle más fuerza a la expresión
Epitaxias y modelos matemáticos
Alguna relación emotiva con los físicos que se dedican a los crecimientos de cristales para estudios de estado sólido y semiconductores tuve y tengo. Ni es ni fue mi principal foco de interés en el ámbito de la física, pero me ha caído bastante cerca. Hace algún tiempo, no demasiado, cayó en mis manos 
un artículo sobre modelos matemáticos de física del estado sólido. Se trata del estudio matemático del crecimiento epitáxico, la modelización matemática elegida en este artículo está relacionada con ecuaciones diferenciales ordinarias.
Las epitaxias son formas de crecimiento de láminas cristalinas por la introducción de impurezas convenientemente en condiciones de presión de alto vacío. La finalidad es obtener cada vez mejores láminas semiconductoras con cada vez mejor rendimiento y mejores prestaciones para fines electrónicos.
La descripción del crecimiento cristalino se escribe matemáticamente como una ecuación diferencial en derivadas parciales en lo que se refiere a la altura de la interfaz de crecimiento, la descripción fenomenológica de este crecimiento puede describirse con soluciones de simetría radial de una ecuación diferencial con problema de contorno.
Soluciones de simetría radial que son modelos útiles para soluciones relativistas. Me gusta mostrar al lector la búsqueda de analogías entre formas que subyacen en las comparaciones y subsiguientes modelizaciones que emergen de esta manera de ver las relaciones estructurales entre los fenómenos naturales.
Tras estas bonita ideas iniciales, el siguiente paso consiste en seguir los pasos de los razonamientos, teoremas y demostraciones que se usan para presentar estas ideas. Los problemas de boundary value son muy jugosos y proporcionan muchas satisfacciones matemáticas a sus estudiosos y por extensión a todos los que participan de las alegrías de crecer no solo cristales, sino conocimiento ; de otra manera, de mirar el mundo con alegría que es de lo que se trata y para lo que sirve aprender, objetos y objetivos para ser un poco más felices.
Me gustan estos artículos, no puedo dejar de animar a todo el mundo por esta senda, cada cual lo enfoque a su modo.
Schrödinger: Mecánica y óptica (analogía hamiltoniana)
A mano de ordenador me acompaña un escrito de E. Schrödinger (1887-1961), un artículo tipo survey, una alegría (una vez más lo afirmo sí, lo he escrito ya tantas veces…) tener este contacto directo con estas grandes personalidades de la ciencia, a veces parece como si estuviera hablando con ellos desde mi pequeño rincón del mundo, desde mi tiempo, desde mi ordenador corriente confundible con cualquiera de los que hay varios en cada sitio. En ese sentido mi ordenador es mi cofre y en él voy atesorando testimonios escritos de lo que otros pensaron (piensan) y dijeron (dicen). A veces hay documentos que dejo pasar, los encuentro en la red y no los vinculo tan ferozmente a mí, aunque en el fondo, si me interesan lo suficiente, procuro saber dónde están para que se olviden de mí cuando más necesite su amistad.
La versión del artículo que atesoro se titula An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules como todo aquello por lo que me deslizo en esta sección creo que vale la pena demorarse en leer, en pensar o en comprender, sin embargo en esta nota me voy a detener solo en un apartado del artículo al que hace alusión el título ‘The hamiltonian analogy between mechanics and optics’ por contextualizar el momento en que fue escrito diré que la publicación está escrita en Zurich en 1926, en The Physical Review, me interesa sobre manera este apartado por la revitalización casi explícita del principio variacional de mínima acción, tan extraño y tan querido y olvidado alternativamente en la historia de la física. Como no acaba de encontrar su acomodo individualizado, en realidad está en todas partes, ocupa mucho, y sedujo a Feynman y De Broglie, cobra una inquietante vida propia
1. The theory which is reported in the following pages is based on the very interesting and fundamental researches of L. de Broglie on what he called «phase waves» (ondes de phase) and thought to be associated with the motion of material points, especially with the motion of an electron or proton […]
The chiefs advantages of the present wave -theory are the following. The laws of motion and quantum conditions are deduced simultaneously from a simple Hamiltonian principle… […]
Es solo el principio y ya promete y seduce desde la primera palabra, aquí no hay puntada sin hilo. Enlazar, combinar, relacionar, encontrar explicaciones, entender, elaborar.
Solo pretendo aquí que que quede patente la suave línea que nos une a todos, la línea conductora que hace de todos los seres humanos una unidad, un grandeza hecha de pequeñas personalidades. No digo nada del artículo, ni siquiera esbozo o señalo lo mejor o más interesante. Es que sé que está ahí y quisiera que otros también lo encontraran y lo saborearan…
Matemáticas delicadas (XVI): sobre órbitas keplerianas
El estudio de los espacios keplerianos sigue proporcionando conocimiento a través de su mirada comprensiva y a pesar de ella
al mismo tiempo, da tanto a la matemática y a la física que merece la pena, creo yo, que cada quien a su nivel, según sus perspectivas, intereses o alcance le dedique algún ratito de reflexión.
Algunos estudiosos de las órbitas keplerianas y de los espacios de estas órbitas se hallan enfrascados en la posibilidad de las colisiones entre dos objetos en órbitas keplerianas, por ejemplo satélites, se consideran varios tipos de situaciones: vale decir que estos cuerpos sean coplanarios (o no). En ambos casos hay dos tipos de condiciones que cambian las características del problema, por ejemplo si hay intersección entre las órbitas de los objetos (o no), en caso de que no exista ningún punto de intersección entre las dos órbitas parece que no se va a producir colisión. En el caso de las que las órbitas intersecten se suele acotar el tiempo, o mejor dicho se trata de establecer una escala temporal en la que analizar las posibilidades de que se produzca choque en términos de los periodos orbitales de ambos objetos y el tiempo, que en este problema es una variable crucial. Actualmente se están realizando simulaciones numéricas con distintas características y en diferentes situaciones, esto proporciona criterios válidos de colisión.
Este tipo de problemas adquiere especial importancia porque no se refiere solo a los objetos naturales que pueblan el sistema solar, sino que atañe también a las necesidades prácticas de seguridad y control del gran número de satélites que se están poniendo en circulación. Afecta el problema a objetos de todos los tamaños, pero es de especial interés humano, los de mayor tamaño, aunque no hay que desdeñar la pura chatarra que aún pasando casi inadvertida puede ser muy perjudicial.
Estoy contando cosas de órbitas elípticas, que en el caso de coplanaridad conllevan un número máximo de cuatro puntos de intersección, hecho que es bastante bien conocido, en el caso no coplanar solo hay dos, y en el caso de un foco común compartido por los dos satélites hay dos puntos de intersección de órbitas (máximo) sean coplanares o no.
Para que dos satélites choquen sus órbitas tienen que compartir algún punto, por eso es crucial determinar los puntos de intersección de las órbitas.
Este mundo de la astrodinámica tan interesante tiene su correspondiente mundo matemático que desarrolla los aspectos teóricos más preciosos y precisos.
Hay algunos trabajos técnicos muy interesantes sobre la teoría de la determinación de órbitas, pero también libros de textos para especialistas, estudiantes y estudiosos.
Notas sobre el Sistema Solar
Las matemáticas del Sistema Solar están de plena actualidad, es un estudio no por antiguo acabado, y además con nuevas incorporaciones en forma de conocimiento. Nuestra limitada mirada, que nos impide ver en numerosas ocasiones y que en otras nos hace ver lo que queremos ver, se va acostumbrado a otros métodos, otras formas, otros conocimientos y nuevas inestabilidades. Problemas no planteados e inimaginables se plantean y son vividos con intensidad, otros viejos y difíciles son resueltos o traslados a 
otros campos que proporcionan una mejor visión de los problemas u originan otros nuevos.
En el siglo xix algunos importantes matemáticos invirtieron gran parte de su tiempo y talento en el estudio matemático del sistema solar, además de Poincaré (1854-1912), que seguramente está en la mente de todos hay algunos menos conocidos, salvo por especialistas, Painlevé (1863-1933) y Haretu (1851-1912); pero también otros varios, algunos de los cuales estuvieron junto a Poincaré de alguna manera. De Painlevé y Haretu cabe decir que ambos fueron personalidades muy activas en varias esferas de la vida social y política.
Una vez establecida por Newton la ley de gravitación universal, junto con las leyes de Kepler, una pregunta que puede surgir a los estudiosos es sobre la estabilidad de las órbitas elípticas que describen los planetas alrededor. Seguramente el propio Newton no estaba demasiado seguro de la estabilidad de las órbitas, al menos con las herramientas que los explicaban y consideraba, tal vez, que era precisa alguna factor ajeno a los considerados por él para describirlas.
Las herramientas matemáticas que Newton estableció no servían para establecer la estabilidad de las órbitas planetarias, entre otras cosas porque él se dedicó a estudiar La Luna.
En el siglo xviii se amplió la visión del estudio de la matemática del Sistema Solar; por una parte, se generalizó el estudio de la teoría de perturbaciones y, por otra, se amplió el estudio de las propiedades generales del sistema gravitatorio.
Sturm (1803-1855) hacia 1836 introdujo el estudio cualitativo de las soluciones de las ecuaciones diferenciales, que Poincaré trabajó como una forma de pensamiento matemático. Painlevé, Haretu,… algunos otros hombres de gran talento y de importante talante proporcionaron fuertes herramientas matemáticas, sorprendentes resultados, y contribuyeron enormemente al estudio del sistema solar en sus aspectos dinámicos; estudio que en la actualidad sigue proporcionando conocimiento a los interesados y alegrías a los estudiosos del problema de los n cuerpos, y a los encandilados por el Sistema Solar.
Un breve sobre ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales sirven como modelo en muy diversas situaciones relacionadas con el mundo físico, el estudio de los problemas que surgen al observar casos del mundo natural e interpretar los fenómenos que se observan reflexivamente y con afán de compresión de problemas.
La construcción de las ecuaciones diferenciales es un proceso lento y muy laborioso, y ocupa un largo periodo de tiempo histórico y muchas generaciones y cabezas pensantes cada cual con su aportación y con más de una culminación brillante por alguno de esos matemáticos cuyos nombres conocemos todos. Algunos gustan de caracterizar esta evolución clasificándola según etapas, cada una culminando en un hito importante.
Así por ejemplo, el lector puede encontrar a Cauchy y su teorema de existencia (1820), como el culminador de la primera etapa. Después vendría la etapa del rigor, la construcción del rigor, que daría paso al uso de la teoría de grupos continuos y la dinámica de Hamilton-Jacobi. Hacia 1880 ya hay un nuevo teorema de existencia que proporciona Picard y el perfeccionamiento continúa. La última etapa, por ahora, se desarrolla plenamente en el siglo xx con la generalización del análisis. Bueno esto no es más que una clasificación muy general, pero hay otras varias, el lector puede encontrar la que sea más afín a sus gustos y conocimientos, y a su propio estilo. Los que remontan el origen a Napier y los logaritmos, y a Torricelli pues gustan de ser refinados arqueólogos de las matemáticas, pues ciertamente las raíces se construyen muy poco a poco. Y en muchos pensadores de siglos anteriores encontramos trazas del pensamiento acerca de lo infinitamente pequeño. Descartes, Galileo, Newton, Leibniz.
Las ecuaciones diferenciales escriben muy bien las leyes de la mecánica y por ende, como la mecánica, es el prototipo más desarrollado de los estudios acerca mundo físico sirve también para adentrarse en otros campos del conocimiento conocimiento científico. Bernouilli, Euler, Ricatti, los nombres de las ecuaciones diferenciales son bien señalados, Liouville, Lagrange, Laplace, Gauss, Fourier, Legendre.
No quiero hacer un listado exhaustivo, solo quiero recordar que este objeto matemático es una de las herramientas más queridas por los físicos, y ellos creo que no es exagerado comentar, son instigadores de muchos de sus estudios y perfeccionamientos. Verdaderos artífices de la evolución matemática preciosa que suponen.
Los libros de mates sobre ecuaciones diferenciales son muchísimos, no cabrían aquí, yo tengo mis preferidos, cada quien escoja.
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