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Encuentros entre juegos y matemáticas (bastante ingeniosos)

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En el título de esta entrada estoy jugando a mi vez con un título Game. Set and Math. Enigmas and Condrums by Ian Stewart con el que el traductor al español ha jugado con respecto a esta obrita de entretenimiento, risas, pasatiempos y otras menudencias para pasar el rato en un transporte público con una sonrisa brindada a la gracia y al ingenio.

No tiene más y no tiene menos, es un libro escrito con soltura y frescura de gracietas de ambiente matemático sin más pretensiones, bueno seguramente con varias segundas pretensiones como la de enganchar a más lectores en el mundo de los divertimentos matemáticos o hacer pensar un poquito diferente a la gente y cosas de esa índole. La edición de la que dispongo es de bolsillo en quiosco y muy barata, creo que del tipo dos por uno. Las ilustraciones ayudan mucho al lector afanoso, y como…

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El debate científico de la biomatemática: Volterra & Kostitzin

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La posición intelectual de Vito Volterra (1860-1940) sin haber sido descrita en su generalidad, ni mucho menos analizada con cierta finura, ha sido varias veces admirada y señalada de un modo preciso en este blog. No es el matemático más relevante de la historia -si es que cabe esa expresión-, no es el más influyente en la ciencia, ni el padre de nada.

Supo aplicar sus estudios y sus conocimientos a la biología y abrió un nueva perspectiva. La traslación de la mecánica al mundo de lo viviente se hizo de modo directo vía la física, y la biofísica cada vez está más en auge en parte gracias a la rama joven de los sistemas complejos, y en parte vía a la modelización matemática, léase ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos… y todos los elementos de la física matemática. Esta visión no solo abrió un nuevo campo para el desarrollo de la pura…

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Fermat vs los cartesianos

En la historia de los principios variacionales que tanto me gustan, Fermat (1601-1665) ocupa un lugar destacado. La idea de las analogías ocultas de las cosas está en la base del pensamiento creativo y la belleza como cualidad intrínseca de los objetos propios de las ciencias naturales que organiza mi pensamiento no es un asunto ornamental en el placer de ver (o de pensar que viene a ser lo mismo para quien entendiendo lo que digo lo lea… aquí copio un recurso expresivo de Wittgenstein).

De familia burguesa y por formación jurista que llegó a consejero real en el parlamento de Toulouse y que alcanzó altas responsabilidades en la magistratura (lo que le permitió añadir el ‘de’ a su apellido), Pierre de Fermat es un hombre importante en la historia de la matemática, actividad que desarrolló al margen de su profesión, como divertimento. Puesto que se desenvolvía en otra esfera social no participó en algunas de las discusiones de su tiempo, en las que no faltaba nunca Marin Mersenne (1588-1648) y los cartesianos incluidos el propio Descartes (1596-1650).

En esta nota quiero destacar la crítica de Fermat a la Dioptrica de Descartes. No es una discusión más entre mentes brillantes, en esta discusión está el germen del principio de mínima acción, cuyo origen conviene atribuir a Maupertius (1698-1795) para fijar contexto y época.

Una de las objeciones que me parece interesante señalar es aquella en la que Fermat explica que de las numerosas maneras en que es posible descomponer el movimiento de la pelota cartesiana en dos direcciones, Descartes elige aquella que le conviene para su conclusión previa, es decir que acomoda en medio a la conclusión, así es que nos quedamos como estábamos, por expresarlo de forma coloquial, avanzamos poco en el conocimiento. Fermat en su pasión al contestar la propuesta cartesiana actúa con una precisión molesta para su compatriota. Estos, a su vez, son contestados, pero quizá hay un elemento más general interesante en la argumentación de Fermat que trata sobre las analogías y su validez como prueba, y en ese sentido versa sobre la naturaleza de los principios físicos.

El principio de Fermat sobre el comportamiento de la luz emana de esta controversia fina y minuciosa con las ideas cartesianas, el principio variacional es precioso y estudiarlo con detenimiento es una puerta de entrada para la ardua, pero interesante tarea de adentrarse en la forma variacional de la física. Si consigo que algún lector sienta curiosidad sobre Fermat y sus valiosas aportaciones matemáticas estaré contenta, quizá en otra ocasión escriba algo más centrado el principio de Fermat y el movimiento de la luz, es una reflexión muy interesante  (qué manera más insulsa de describirlo) sobre el cambio de medio y la influencia en la trayectoria de la luz. Aprendamos a pensar en términos de la naturaleza es alegre.

Divulgación sobre agujeros negros y universos nacientes

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chica monet3Recientemente he leído un librito muy fácil y ameno escrito por Stephen Hawking, lo he leído en traducción francesa: Trous noirs et bébés univers. Creo que de vez en cuando estos libros que ponen sobre la mesa conceptos científicos actuales, pero difíciles son buenas noticias. No comentaré la parte de autobiografía que es largamente introductoria e interesante. Pero sí me parece oportuno para ponerse al día a quien no tenga nada que ver con la física, pero quiera estar algo informada sobre los temas científicos de actualidad.

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De los 14 capítulos de los que consta el librito, casi la mitad son autobiográficos, en ellos narra diferentes etapas de la historia de su vida desde el enfoque profesional, aunque arranca brevemente de la infancia. Los capítulos son pequeños artículos, en realidad, que están unidos por el hilo conductor común de las características especiales del personaje y su interés por la…

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Emmy Noether

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Un artículo muy breve reseñando la biografía de la mujer matemático más relevante del siglo xx Emmy Noether (1882-1935), esta reseña se queja, con razón seguramente, de que reducir la figura de  esta eminente científica a la de la madre del álgebra en el siglo pasado es acortar el tamaño de esta figura femenina imponente. Noether es mucho llegó mucho más lejos, y no hay por qué ser cicateros en la apreciación de su valía, además de injusto no lleva a ninguna parte. Quienes estamos, más o menos, familiarizados con algunas ramas de la física no olvidamos nunca su nombre. Como tampoco lo olvidan, supongo, quienes no dejan de pensar en sus grupos y en sus brillante visión matemática.

El pequeño paper firmado por Renate Tobies M BV Tent en Mathematical Intelligencer. El autor de la reseña empieza diciéndonos en este sentido que la biografía de Noether no resulta comprensiva…

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Euler, comentarios sobre funciones

 

Un pequeño artículo que encontré  a través de NUMDAM que forma parte del archivo del seminario de historia de las matemáticas (Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques) y que es una traducción al francés de un escrito de Leonhard Euler (1707-1783) con título en esta versión De L’utilisation des fonctions discontinues en analyse, escrito y revisado seguramente entre 1765 y 1767 es una pequeña joya que se encuentra una por suerte de vez en cuando en los archivos históricos de la ciencia.

Una visión tan clara, una presentación tan poco pretenciosa de lo que se pretende contar, de lo que se quiere hacer ver de lo que se muestra, que en este caso es una reivindicación de las funciones discontinuas, me parece fascinante. Uno de esos artículos que enseñan a pensar en matemáticas, a ver matemáticas, a apreciar lo que tiene de valioso, de interesante y de divertido la matemática.

Creo en Euler además de como el gran matemático de todo el mundo consabido, como un gran divulgador. Leer cosas como estas, no muy largas, no muy trascendentes, como casuales, da mucho que pensar.

Piensa el lector que sabe mucho sobre funciones, que sabes más que la mayor parte de los mortales, que las manejas con soltura y que al menos las más elementales no tienen secretos para él… Pues quizá tal pensamiento sea una osadía. Tal vez convenga no dejarse llevar por la urgencia de los tiempos en que nos toca leer, detenerse y reflexionar despacio en artículos como este.

La noción de función, la noción de función continua, el avance en la progresión de los conceptos por el camino que pretende llevar al lector, el lenguaje que utiliza donde cada palabra tiene su valor exacto. Son 30 páginas escritas cuando ya tenía mucho escrito, cuando ya había pensado, explicado, y discutido de estos asuntos con personas a su altura (de esas pocas), con personas que pudieran ver y captar su altura, de personas que intuían su altura… y de quienes pasados varios cientos de años, cuando el mundo y la vida son otros distintos a los suyos, seguimos aprendiendo de él, y no importa si  ahora lo habría escrito de otra manera o si ahora escribiría otras cosas. Aquí hay buenas matemáticas, matemáticas de las que enseñan a mirar matemáticas…

Este comentario no está a la altura de lo comentado, léase el artículo está a disposición de la humanidad.

Ecuaciones y otras alegrías (XI): la ‘acción’ en el siglo xx

Los principios variacionales tienen una larga historia que los han ido adaptando a los tiempos científicos por los que transitaban, lo cual los ha vuelto flexibles y sabios, y no han perdido ni la frescura ni la belleza en el curso del tiempo, su fabuloso poder explicativo hace muy difícil permanecer indiferentes a su influencia, bien con admiración, bien con prevención, bien con desconcierto y en fin con toda la variedad de actitudes características de estos seres vivos que somos los humanos.

Pues sí en el siglo xx la vieja ‘acción’ volvió a florecer rejuvenecida. La travesía por la historia del principio de mínima acción es una secuencia de aventuras y desventuras, discontinuidades, rupturas en todos los sentidos: en su estatus, en su uso, en su comprensión más o menos profunda… así ha pasado del ostracismo a ocupar una posición de privilegio según diferentes momentos.

Desde Maupertius (1608-1795) en particular hasta de Broglie (1892-1987) los avatares se suceden; y Feynman (1918-1988), el maestro de todos los estudiantes de física de la segunda mitad del siglo xx, tiene un trabajo precioso. Para de Broglie la ‘acción’ es una magnitud unificadora y fundamental, desde Maupertius la escritura variacional tiene ventajas universales y en ella la ‘acción’ ocupa una posición primordial, tras de Broglie la mecánica cuántica, en la cual coexisten distintas formulaciones en ocasiones enfrentadas (el pensamiento variacional torna a perder protagonismo). Pero en el siglo xx, el debate de ideas sobre las escrituras de las leyes de la física estuvo muy vivo, y aquí el lector debería apreciar con mimo que la controversia sobre las posibilidades de la escritura variacional para las nuevas ideas físicas vuelve a sus orígenes para auto-ordenarse, es decir a la óptica y a la mecánica. La tesis de Feynman (1942) versa sobre el principio de mínima acción en mecánica cuántica, y así un formulación nueva de la mecánica cuántica nace, en ella adquiere un lugar central una vez más la ‘acción’ y se retoma la discusión epistemológica del estatus de este principio (el de mínima acción) en las ciencias; asistiríamos al nacimiento de la idea de integral de camino, soberbio trabajo de camino emprendido por Richard Feynman.

Recomiendo siempre a los lectores que se familiaricen con Feynman, pero en este caso también con el duque de Broglie.

Sobre las perturbaciones en los movimientos de los planetas

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Félix Tisserand  (1845-1896) que fue director del observatorio astronómico de Toulouse escribió el artículo sobre el que esbozo algunos comentarios en este rincón, se titula Sur un point important de la théorie des perturbations planetaires, 15 páginas bien escritas, en las que explica los tipos de perturbaciones en los movimientos elípticos de los planetas, las desigualdades periódicas y las desigualdades seculares, estas últimas revisten gran importante en la estabilidad del sistema planetario. Empieza el artículo repasando las periódicas de la mano de Laplace (1773), luego presenta al lector a Lagrange de la mano de Jacobi. En la misma página llegamos a 1808 hasta Poisson en pocas palabras, no más de las que caben en una página con la tipografía habitual de su época nos pone al corriente de un interesante problema, bastante bien conocido en su tiempo, y del camino que ha seguido su desarrollo y evolución en poco más…

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Fuerzas dependientes de la velocidad, un curioso y bonito problema de la mecánica

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El ingenio tiene muchas caras algunas son muy bonitas, este que cuento ahora me gusta mucho. Los formalismos de Newton y Lagrange coinciden en los casos de las fuerzas que proceden de un potencial (fuerzas no disipativas), sin embargo para las fuerzas de rozamiento que se pueden escribir como función de la velocidad, la cosa es más peliaguda, bueno de hecho son tan dificilmente encajables que forman otro pequeño corpus de conocimiento. La mecánica de los medios continuos resulta, de este modo, más apropiada y de hecho muy agradable para estudiar estos procesos naturales.

Sin embargo, hay un ejemplo muy bonito en el que resulta interesante tratar sistemas disipativos simples con un pequeño truco. Fíjese bien el lector aquí en la idea de ‘sistema espejo’ para familiarizarse en cierta manera con algunas formas de la heurística propia de esta ciencia. Pero cuidado, hay que tener en cuenta que esta trampa matemática…

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“Historia del principio de mínima acción”

Histoire du principe du moindre action par F. Martin-Robin el subtítulo (trois siècles de principes variationnels de Fermat à Einstein) tres siglos de principios variacionales que estudia esta magnífica historiadora de la física, y física ella misma. Este trabajo es extraordinario y no lo cito aquí en vano más de una vez, requiere una lectura reposada y concienzuda, nadie se amilane si invierte más tiempo del que normalmente necesita para otras lecturas. No es un libro de divulgación popular, es un libro de historia de la física-matemática.

En estas páginas procuro no comentar trabajos de bajo perfil, y por eso en numerosas ocasiones me refiero a trabajos no estrictamente divulgativos (o quizá sería mejor decir no divulgativos en sentido de banalizadores de contenidos, o de material engañoso que sirve para hacer creer al lector que entiende cosas que en realidad no entiende), pero que considero que puede ser accesibles para personas con un cierto interés, un cierto nivel de conocimientos, y con mucha pertinacia. Es imprescindible en estas materias no ser presa fácil del desaliento.

El libro que comento aquí es un libro accesible pero precisa algunos conocimientos iniciales es una buena fuente de documentación histórica.

Consta de cuatro capítulos, un preámbulo y anexos, más las referencias bibliográficas, los índices y todos los materiales que conforman un libro. El preámbulo es prometedor y las páginas que le siguen no decepcionan. El primer tema tratado es el debate en torno a la refracción de la luz, buen comienzo aquí ya nos topamos con Descartes, Fermat y otros sujetos de primera línea, sus ideas, sus controversias y sus aportaciones. En el capítulo segundo ya se entra de pleno derecho en Maupertius, Euler y la mínima acción. El capítulo tercero Lagrange no lo comparte, lo llena, lo mismo que ocurre en el cuarto con Hamilton. Esto no significa que no haya lugar para otros protagonistas que no personajes secundarios. Me refiero a Jacobi, por ejemplo, también hay lugar para individuos que sin llegar a trascender sin embargo deben ser reconocidos con contribuyentes imprescindibles. Cito nombres, pero el libro está pleno de historias matemáticas, de logros, de explicaciones y de coherencias.

La última lección se centra en los desarrollos de los principios variacionales en el siglo XX con Schrödinger y Feynman como protagonistas, un libro más que vale la pena.

Vuibert, París, 2009