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Curiosidades sobre detalles del vuelo de aviones
He leído un artículo muy bonito sobre aerodinámica, en concreto son las cualidades físicas del vuelo de los aviones. No sé casi nada de física de fluidos ni de física de vuelo. Pero me gustan los aviones, me gusta la física de fluidos y me gustaría saber algo más de la física de las aeronaves.
How do wings work? by H. Babinsky así se titula y en verdad que despeja algunos errores muy comunes que suelen pasar 
inadvertidos al explicar el funcionamiento de las alas de los aviones.
Ya en el resumen inicial, el lector puede obtener una buena visión de lo que va a encontrar: la explicación común del porqué y del cómo levantan el vuelo los aviones, y de la parte esencial que supone las alas en la construcción de este proceso, está llena de errores, utiliza argumentos físicos no esenciales y engañosamente invoca a la ecuación de Beronuilli.
A partir de ahí, ya preparados, podemos lanzarnos a la lectura real, que empieza por una pregunta sencilla, ¿por qué las alas de los aviones ayudan a levantar el avión? El autor arguye que hay varios aspectos esenciales en los que las explicaciones más populares y complacientes con la lógica conducen a errores y malos entendidos de los principios aerodinámicos más importantes.
Para abordar las razones de que la explicación común es errónea, siempre según el autor, se recurre a la mala aplicación de la ecuación de Bernouilli que implica también la forma de las alas, y así grandes velocidades conllevan bajas presiones y esto origina una presión de levantamiento, y aquí se usa profusamente la ecuación de Bernouilli, con sus esquemas correspondientes.
El problema no es que todo sea erróneo, que eso sería fácil de desmontar, se desecha el fenómeno y ya está, se comienza a buscar otra explicación, pero el asunto no es tan sencillo. La clave reside en que sobre un germen sólidamente cierto se elabora una construcción explicativa incorrecta en un importante número de puntos clave.
El autor propone una explicación alternativa que recomiendo leer con cuidado. El resultado final será complaciente con la inteligencia del lector debido a que la propuesta de la explicación de una línea de curvatura aerodinámica, combinada con la ecuación de Bernouilli, la presión, la fricción y la elevación producen un resultado óptimo. Complete el lector su curiosidad leyendo acerca del efecto Coanda, me parece que no se trata aquí…
Geometría y Topología
Las tres dimensiones en que nos movemos con familiaridad nos llevan a pensar en la posibilidad de las dimensiones de orden superior. Normalmente el cambio del número de dimensiones se suele asociar a la ciencia ficción, o al menos la excusa para atreverse a tratar el tema debe ser que todo es fruto de la fantasía.
Algo parecido debió ocurrirle a Darwin cuando dejaba pasar el tiempo para hablar de la evolución, si no hubiera sido, quizá, porque Wallace amenazaba adelantarse (al fin y al cabo él no era famoso y no tenía nada que perder) no habría dicho nada. Ha sucedido muchas veces en el curso de la historia de la ciencia. Tenemos a nuestro Gauss silencioso frente a los Bolyai y Lobachevski ellos eran importantes, pero no eran Gauss, y podían tratar otras geometrías que no no contuvieran el 5º postulado de Euclides como base.
La hiperesfera y la dimensión cuatro se alcanzan a ver mejor cuando se pasa de la geometría a la topología, cuando se ha estudiado a Poincaré y a sus herederos, cuando se conocen las geometrías de Riemann y los antes citados. A nosotros no suena extraña la palabra relatividad, ni Minkowskii y ni el espacio-tiempo curvo.
Tanto la geometría como la topología estudian las formas pero fijándose en diferentes aspectos. Como siempre para avanzar en conocimiento las preguntas son cruciales, lo que uno se pregunta casi señala la respuesta que va a obtener.
Por ejemplo, una pregunta bonita es ¿cuándo dos formas son realmente la misma forma?, y claro la respuesta no es única ya que depende de los aspectos de la forma en los que alguien se interese. Dependiendo de si se miran topológicamente o geométricamente las formas difieren, en geometría se pueden estirar encoger o girar para transformarse unas en formas en otras. La mirada amplia del topólogo nos enseña que un triángulo, un rombo o un cuadrilátero son la misma forma, el círculo, para un topólogo las propiedades que caracterizan a una forma son distintas que para un geométra. Y a partir de ahí buscar soluciones a problemas y crear otros nuevos adquiere un cambio de posición epistemológica.
He leído artículos muy bonitos al respecto, no sé por cuál decantarme para orientar y animar al lector.
Algunas lecturas sobre teoremas bonitos (XVII): El teorema de Borsuk-Ulam
Algunas funciones y algunos teoremas son de una belleza tan plástica como otros tienen una armonía casi audible y otros cuya estética estructural es tan sobresaliente que es mejor callarse y dejar a los demás que las disfruten a su propia manera, casi sin guía.
Un enunciado divertido, de los muchos que se pueden hacer más o menos clásicos, es el siguiente: Sea una función continua f definida f : Sn → ℝn existen un par de puntos situados en las antípodas en Sn a los que f mapea al mismo punto de ℝn . Una interpretación posible para n = 2, por ejemplo, es que para dos puntos cualesquiera de la superficie terrestre eso sí que estén situados en las antípodas el uno del otro, la temperatura coincide.
Este teorema tiene muchas aplicaciones y una historia simpática y/o rocambolesca, Borsuk (1905-1982) y Ulam (1909-1984), biografías que por cierto recomiendo para que el lector vea en un ejemplo próximo, cómo se entremezclan y se combinan los trabajos de matemáticas si hay varias mentes pensantes, más o menos lejanas en el tiempo, pero no en las concepciones y en la mentalidad, los muchos caminos que hay para atacar un problema y cómo en tantas ocasiones se cruzan los senderos. Ocurre en numerosas ocasiones y circunstancias vitales, pero este un ejemplo que no nos cae muy lejos. Quien no lo conozca puede curiosear.
El teorema es un resultado que los topólogos consideran básico, y que presenta una conclusión cuando menos sorprendente, al menos la primera vez que se topa alguien con ella, para el caso de dimensión 1 tiene una demostración bastante asequible para casi todo el mundo, en la que solo se usa prácticamente el teorema del valor medio, viejo conocido de todo aficionado a las matemáticas, el caso general para n > 1 tiene una demostración topológica algo más complicada y de otro nivel, pero también es abordable.
Lo delicioso viene cuando se tiene más o menos dominado lo que el teorema ofrece, cuando el lector se enfrenta a su enorme potencialidad, es uno de esos teoremas sin apenas enjundia argumental que resultan que tienen gran enjundia y sobre todo que han contribuido de manera muy interesante al desarrollo de ramas matemáticas de indudable capacidad científica en las últimas décadas.
El lector curioso ya tiene una nueva curiosidad en la que adentrarse si así lo desea, y no es baladí.
‘Sin gravedad’
Cuando se pierde el tirón gravitatorio… querría empezar escribiendo lo que se siente al perderlo, pero me voy a contentar con escribir lo que imagino se percibe, y lo imagino a través de la razón, a la luz de algunas pocas cosas que sé y de otras que voy leyendo aquí o allá.
Es bonito leer, mientras se saborea una buena taza de café siempre que este resulte cómodo, es decir, con la gravedad acostumbrada. En un ambiente de gravedad cero, como las que se encuentran los astronautas en la estación espacial o en otras situaciones. Los líquidos en el espacio son difícilmente manipulables con nuestros hábitos gravitatorios terrestres. Esta joven tendría una mirada de asombro o de estupefacción en lugar de esa dulce pose.
Para empezar servir el café sería casi impensable, y si por alguna razón el café estuviese contenido previamente en la taza ahí se quedaría, colocara la taza en cualquier orientación que deseara nuestra protagonista. El ejemplo del café lo extraje de una curiosa noticia de la NASA, pero hay estudios y experimentos sobre el comportamiento de los líquidos ingrávidos, como los refrigerantes térmicos, el agua, los combustibles y todos los fluidos líquidos que interesan inicialmente. Algunos experimentos son muy bonitos, por ejemplo se puede ver lo que ocurre en las partes que forman esquina en los tubos capilares, cuando el ángulo que configuran las superficies sólidas que los limitan es pequeño.
Estos experimentos de laboratorio con líquidos son muy bonitos, pero para los usuarios terrestres seguramente será más valioso los resultados que puedan obtener los astronautas al estudiar un intercambiador de calor de condensación en condiciones de gravedad muy pequeña, otro resultado interesante puede concernir a los separadores de líquidos.
El científico que trabajó en la estación internacional, para el asunto del café, patentó una taza muy interesante. Es simpático que se usa para brindar en condiciones de gravedad baja, pero es útil para el diseño de dispositivos tipo de máquinas de aire acondicionado, contenedores de fluidos inflamables y otros de valor energético.
Analogías matemáticas en la naturaleza
Uno de los éxitos de algunos saberes de la matemática en relación con la física y con otras ciencias de la naturaleza con las que está en efervescente interacción es la capacidad que tiene de escribir las analogías entre las cosas. Los físicos que se afanan en buscar relaciones, porque saben que es lo único que a la postre pueden conseguir (y no es poco ser consciente de esa situación), se ufanan también de sus logros que serían poca cosa sin el 
auxilio de la matemática.
Pero me gustaría en esta nota hacer una comparación bonita a cuento de un artículo técnico que encontré hace poco que compara matemáticamente la estructura de la formación de los anillos de Saturno con la evolución presa-depredador de una población. Para quienes sostienen que la forma de pensamiento matemático no es ‘natural’, al menos de entrada, para el ser humano que es sociable y verbal, me hace reflexionar en la duda de la veracidad de ese tipo de pensamiento.
¿Por qué encontramos los humanos (en este caso, los humanos autores del trabajo) analogías analíticas entre agregados de masa en formación de anillos y poblaciones de presas, o dispersiones de masas y población de depredadores?; será porque en nuestro afán de entender, las buscamos.
Los autores establecen con astucia una analogía que les conviene, para poder utilizar y aplicar resultados bien conocidos. Una herramienta de la inteligencia humana, simpática, alegre y divertida y además que optimiza conocimientos. Existen formas diversas de hacer ciencia de la buena, si vale esta expresión, en casi todas tienen importancia crucial las palabras. La forma de pensar con palabras no son siempre las mismas, al igual que las formas de pensar con imágenes tampoco lo son.
Si algún lector tuvo a bien ‘leer’, quizá se haya dado cuenta de que solo pretendía señalar el valor de las analogías, la fuerza de elegir buenos ejemplos, el aprender a construir y a pensar al revés, como programa de pensamiento y método de investigación pagado o gratuito, individual o colectivo. Y la pasión de aprender, o la felicidad de hacerlo.
Buscad analogías, por ejemplo entre la formación de anillos de los grandes planetas y los paisajes vivos, quizá encontréis que de algún modo son lo mismo
Un breve sobre ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales sirven como modelo en muy diversas situaciones relacionadas con el mundo físico, el estudio de los problemas que surgen al observar casos del mundo natural e interpretar los fenómenos que se observan reflexivamente y con afán de compresión de problemas.
La construcción de las ecuaciones diferenciales es un proceso lento y muy laborioso, y ocupa un largo periodo de tiempo histórico y muchas generaciones y cabezas pensantes cada cual con su aportación y con más de una culminación brillante por alguno de esos matemáticos cuyos nombres conocemos todos. Algunos gustan de caracterizar esta evolución clasificándola según etapas, cada una culminando en un hito importante.
Así por ejemplo, el lector puede encontrar a Cauchy y su teorema de existencia (1820), como el culminador de la primera etapa. Después vendría la etapa del rigor, la construcción del rigor, que daría paso al uso de la teoría de grupos continuos y la dinámica de Hamilton-Jacobi. Hacia 1880 ya hay un nuevo teorema de existencia que proporciona Picard y el perfeccionamiento continúa. La última etapa, por ahora, se desarrolla plenamente en el siglo xx con la generalización del análisis. Bueno esto no es más que una clasificación muy general, pero hay otras varias, el lector puede encontrar la que sea más afín a sus gustos y conocimientos, y a su propio estilo. Los que remontan el origen a Napier y los logaritmos, y a Torricelli pues gustan de ser refinados arqueólogos de las matemáticas, pues ciertamente las raíces se construyen muy poco a poco. Y en muchos pensadores de siglos anteriores encontramos trazas del pensamiento acerca de lo infinitamente pequeño. Descartes, Galileo, Newton, Leibniz.
Las ecuaciones diferenciales escriben muy bien las leyes de la mecánica y por ende, como la mecánica, es el prototipo más desarrollado de los estudios acerca mundo físico sirve también para adentrarse en otros campos del conocimiento conocimiento científico. Bernouilli, Euler, Ricatti, los nombres de las ecuaciones diferenciales son bien señalados, Liouville, Lagrange, Laplace, Gauss, Fourier, Legendre.
No quiero hacer un listado exhaustivo, solo quiero recordar que este objeto matemático es una de las herramientas más queridas por los físicos, y ellos creo que no es exagerado comentar, son instigadores de muchos de sus estudios y perfeccionamientos. Verdaderos artífices de la evolución matemática preciosa que suponen.
Los libros de mates sobre ecuaciones diferenciales son muchísimos, no cabrían aquí, yo tengo mis preferidos, cada quien escoja.
Conceptos matemáticos y físicos bonitos (XV): Espacios de dimensión infinita
Para iniciarse en el cálculo de variaciones tan útil en la física (y en la matemática per se) se requiere un notable conocimiento de ciertas herramientas conceptuales y de destreza matemática, y una visión física del mundo habituada a mirar y ver cosas poco visibles a ojo distraído.
Las diferencias notables entre los espacios de dimensión finita y los de dimensión infinitas no son meras cuestiones del lenguaje matemático, conllevan implicaciones en los estudios de las ciencias de la naturaleza. Es necesario tener buen conocimiento de compactos, espacios métricos y las propiedades fundamentales de los espacios normados así como de las aplicaciones, que son funciones, definidas entre espacios compactos.
La topología es crucial para avanzar en estos campos y es una rama que cobra especial importancia para el avance de la física en el siglo xxi. El buen conocimiento de los números reales desempeña un papel crucial en el buen desarrollo de la topología. Weierstrass hacia 1860 definió la idea de punto de acumulación, y a partir de ahí demostrar que todo conjunto infinito de números reales acotado admite al menos un punto de acumulación.
A partir de ahí, el siglo xix acabó a considerar conjuntos abstractos de aplicaciones generales. Aunque ya no se use mucho se empezó a utilizar el concepto de funcional que son objetos que depende de funciones. Volterra entre otros empezó a dibujar el análisis funcional, en los cuales los razonamientos sobre vectores se amplían notablemente a espacios de dimensión infinita, el cálculo de dimensión infinita el cálculo de variaciones que viene de lejos es importantísimo.
Un ejemplo de espacio vectorial de dimensión infinita es el espacio de funciones definidas sobre dominios de espacios vectoriales de dimensión finita, a partir de esta idea se puede ir construyendo los conceptos más útiles de este desarrollo.
Lo abstracto se acerca a lo real en esta confluencia y esta manera de actual suele ser un buen camino para trabajar en matemáticas.
Para entender de verdad las implicaciones de estas ideas matemático y los conceptos físicos en los cuales se contextualiza es necesario conocer el cálculo de variaciones y para ello cada cual elija su documentación o su texto preferido.
Sobre preguntas y respuestas de la naturaleza
¿Por qué cuatro fuerzas fundamentales? ¿Por qué la gravedad? ¿Qué buscamos al buscar leyes de la naturaleza? ¿Por qué son interesantes
las regularidades en el comportamiento de la naturaleza? ¿Qué sentido tiene buscar relaciones y comparaciones?
Preguntarse por las leyes de la naturaleza es una de las formas de mirar el mundo de los científicos de todos los tiempos, desde el nacimiento de la astronomía como primer estudio de la naturaleza más o menos sistematizado hasta nuestros días en los que la astronomía sigue siendo un estudio de primera línea. La teoría de cuerdas puede ser una forma de respuesta actual a ese esa forma de acercamiento al mundo.
El profesor Andrew Strominger que es un estudioso importante de esta mirada del universo, se formula algunas preguntas que están que parecen sencillas de formulación y asequibles, sin embargo la respuesta puede conllevar una reformulación total de nuestra visión del mundo. De una manera e incluso muy simpática el profesor muestra en algunas charlas divulgativas algunas de estas preguntas fundamentales y las preguntas que poco a poco se van dando los científicos; por ejemplo a mí me gusta mucho cuando se interroga transmutándose en Einstein quién tendría razón: Newton, Maxwell…, corriendo a la velocidad de la luz con un espejo en la mano, qué imagen vería… Resolver contradicciones, armar puzzles tarea esencial del científico naturalista como nos hace ver el propio Strominger. La mecánica cuántica y la relatividad cómo pueden encajar la una con la otra. Trabajando en esta línea nos explica cómo Einstein pensó que la gravedad es una ilusión y traslado toda la responsabilidad a la pura geometría, a la curvatura del espacio tiempo que origina la presencia de las masas. Luego nos lleva al otro extremo de las dimensiones, nos pasa del mundo de lo muy grande al mundo de lo muy pequeño el problema de la gravedad cuántica, la incertidumbre, y el problema matemático que la incertidumbre conlleva, el resultado de asociar la teoría electromagnética con la teoría cuántica y el origen de la electrodinámica cuántica. La triste asociación de la relatividad general con la mecánica cuántica y la basura que se obtiene. Este puzzle es terrible, mucho más difícil de lo que quisiéramos; sin embargo no hemos de detenernos hemos de avanzar y su propuesta es la teoría de cuerdas. Adentrarse en la teoría de cuerdas es el trabajo en el que se halla inmerso, la teoría de cuerdas y los agujeros negros. No es la primera vez que en este sitio traigo a colación este nexo de nuestro conocimiento con la naturaleza, pero es que creo que hay que alentar a las personas para que se acerquen a él y lo conozcan…
Recomiendo a quien pueda asistir a las charlas divulgativas de este profesor, son fantásticas. Bien, por honestidad debo decir que el hecho de que me parezca muy ilustrativo y que pienso que se puede aprender mucho, no significa que esté de acuerdo totalmente con él.
Ecuaciones y funciones bonitas (XIV): el teorema de Noether
Un teorema de la física alusivo a leyes de conservación siempre es un alivio para trabajar, seguro que algún problema nos quitamos de encima, o facilitamos la solución del mismo, que viene a ser la mismo, porque quitarse un problema lo que se dice quitárselo uno de 
encima es algo levemente distinto. Amalie Emmy Noether (1882-1935) que hizo numerosas e interesantes contribuciones a la teoría de invariantes y a la teoría de representaciones tenía la matemática al alcance de su mano en su hogar de nacimiento. Las estrechas relaciones que existen entre las leyes de conservación y las simetrías de un sistema son detectables si se sigue el curso de su evolución. En su forma más general esta ley se debe a Emmy Noether.
Un enunciado un poco informal del teorema de Noether podría ser el siguiente. Un hamiltoniano definido sobre la extensión en momentos de un espacio de configuración. Y además supóngase que una acción de un grupo de Lie sobre dicha extensión de momentos se hace mediante transformaciones canónicas y deja invariante el hamiltoniano.El momento para la acción citada es una integral primera del movimiento para el hamiltoniano.
Esta retórica verbal se completa y se entiende mucho mejor escrita en forma matemática y escrita formalmente tienes unas consecuencias fantásticas para el estudio y la comprensión de sistemas dinámicos que nos interesan. Por ejemplo una consecuencia importantísima y que a mí me gusta mucho es la que se podría contar diciendo que en un sistema en el espacio tridimensional cuyo movimiento está regido por un hamiltoniano invariante por las rotaciones alrededor de un eje, su momento angular en relación con este eje es constante en el transcurso de su evolución.
Bueno la licencia que me he permitido al enunciar de esta manera poco ortodoxa estos importantes resultados de la matemática que han contribuido de manera notable al desarrollo de la física del siglo xx, sirvan para alentar a los curiosos a adentrarse en la biografía de esta científica de un parte, pero de otra anímense a estudiar o a leer matemática, ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos, no se desalienten los lectores mentalmente, y tengan la presencia de voluntad para adentrarse en un estudio poniendo a trabajar sus capacidades cognitivas como lo harían en cualesquiera otra circunstancia.
Esta reseña es solo un recordatorio, ni siquiera alcanza la categoría de un homenaje
Elementos esenciales de física matemática (XIII). Sobre ‘observables’
Es posible que resulte una temeridad intentar un comentario sucinto sobre un asunto estructural clave de la física que se ve trasladado a la física matemática. La idea de observable que es clave, y por tanto, es utilizada con asiduidad no siempre es entendida de la misma 
manera por sus usuarios, en ese sentido para que resulte fecunda es muy relevante su tratamiento matemático. A mí me resulta familiar como se entiende en física, pero eso no es decir gran cosa, tampoco estoy segura de que todos los físicos entiendan de igual manera este concepto. El consuelo siempre es que al menos lo utilizan igual, pero bueno eso no es infrecuente, ocurre desde las leyes de Newton en adelante, las usamos todos igual, pero ¿las interpretamos todos de la misma manera?
Por intentar una concreción rigurosa matemática digamos que un observable es una función escalar diferenciable sobre su dominio de definición. Claro de este modo hay que dar por sentado que el lector conoce o está dispuesto a conocer o al menos saber emplear con soltura todos los elementos que conforman la anterior definición. Que el estudiante de física esté familiarizado con las aplicaciones diferenciales en coordenadas locales es lo normal, no lo es tanto que lo estén otras personas con diferente formación. Pero para el caso que nos ocupa en estos renglones quería solo recordar que los observables son elementos de trabajo imprescindible para nosotros, y que de ninguna manera alguien interesado en tratar con cierto cariño esta materia debiera dejar al albur de las palabras este término como si fuera cosa de poco o parte ramplona de la jerga.
Es endiabladamente difícil llevar a cabo una discusión matemática elemental y por tanto trasladable a estas notas de estos conceptos tan frecuentes, esto es debido a que la noción de función diferenciable definida sobre un conjunto cerrado es bastante delicada. En una variable, todavía nos podemos defender refiriéndonos a derivadas por la derecha y por la izquierda en un intervalo. Para dimensiones mayores la cosa se complica en extremo. Habrá que referirse a puntos críticos y otros elementos tan hermosos y sutiles como estos, quizá en otra ocasión.
Animo al lector a recurrir siempre al maestro Feynman y a cualquiera de sus maestros matemáticos favoritos, siempre nos queda la mecánica celeste para soñar.
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