Inicio » biomatemática
Archivo de la categoría: biomatemática
Pensar y observar los anillos de Saturno con muchas miradas
Los vuelos espaciales que nos sirven de ojos para observar de cerca los anillos de Saturno, por ejemplo, son causa de sueños bonitos y alegrías jugosas como nuevas músicas en ocasiones o variaciones de aires ya entrevistos. Muchas miradas significa a la postre muchas visiones y algunas certeras 
analogías. Sí las analogías se escriben en matemática resultan tan lúcidas y deleitosas. Las lunas de Saturno que forman parte del vecindario de los anillos influyen con periodicidad la ganancia o pérdida de materiales de estas estructuras, en relativamente poco tiempo.
He visto un modelo matemático escrito en forma de ecuaciones diferenciales de un sistema dinámico forzado, el modelo matemático está preparado de una manera rigurosa y describe con precisión, eso creo, la observación del fenómeno.
Los elementos constituyentes de los anillos son muy activos, al menos en cuestión de la dinámica externa, que aquí no me refiero a su astrofísica. Continuos choques con resultado de ruptura o de agregación de materiales se están produciendo en ese lejano mundo que tan tranquilo y pacífico nos parece. En este intercambio los fragmentos grandes se hacen con los pequeños o se deshacen de ellos, se cambian órbitas y ocurren otras mutaciones dinámicas. La misión Cassini es nuestro ojo para mostrarnos algunos de estos eventos y darnos ‘materia’ para pensar en la dinámica de esta materia e intentar hacer predicciones además de comprender lo que pasa, o al revés, que eso está en nuestra naturaleza. La simulación numérica es una herramienta preciosa para este menester, y en ocasiones sirve para explicar lo que nos muestra nuestro ojo Cassini.
Los matemáticos que han realizado el modelo matemático han buscado analogía con el modelo presa-depredador y eso da una idea del ingenio y la agudeza intelectual que hay que poner al servicio de los talentos científicos de los estudiosos, cualesquiera que estos sean.
Aléjese el lector de esta retórica y acérquese al conocimiento mucho más conmovedor de las estructuras que están a nuestra mano gracias a los trabajos de personas que construyen nuestro conocimiento del mundo.
La música celestial siempre.
Euler y Lagrange, nota sobre una relación muy fecunda
Leí un bonito artículo de historia con un escueto título Euler y Lagrange, Euler (1707-1783) y Lagrange (1736-1813), (Euler e Lagrange) en realidad el artículo está escrito en italiano. Al leerlo evoqué la importante relación de estos dos matemáticos de altura, el intercambio epistolar, en un tiempo donde el rápido email o tan siquiera el eficaz correo aéreo eran cosas del futuro. La primera carta que el italo francés le dirige al suizo alemán sin respuesta, pero que no debió caer en saco roto, parece ser que la mantuvo a buen recaudo… 
Euler en el mundo académico, bien asentado, bien relacionado intercambiando ideas con los grandes Bernouilli, al día de todo lo importante y en el centro de todo lo que se fraguaba orientado al futuro. Lagrange fortaleciendo su mundo mental, estudiando, trabajando duramente, madurando el mundo de sus ideas. Si bien es cierto que no respondió el maestro asentado, a quien sin duda daría que hablar porque tenía mucho que decir, si bien es cierto que hubo periodos de silencio entre ambos, lo que nos han legado cada uno de ellos por separado y las dos mentes bien combinadas es un motivo de orgullo como seres humanos, ahí es donde valemos la pena en algunas cosas.
El artículo que utilizo como excusa para llamar al lector a la reflexión sobre el valor intelectual de estos hombres son 21 páginas, en las que más de una vez se da la palabra a los protagonistas en sus intercambios, se describen cronológicamente, en mi opinión, en un acertado equilibrio entre el detalle y la superficialidad que forzosamente producen los límites físicos de la extensión de un documento de estas características, se suceden alternativamente uno y protagonista en el discurso, sus avances, sus obras, su ubicación profesional, se pormenorizan, creo que bastante bien, sus trabajos, con lo cual es una fuente de fuentes bien reseñadas. En suma, es una lectura agradable que aporta suficiente información y recoge datos dispersos aquí o allá.
Es necesario, en mi opinión, para quienes estén interesados, conocer mejor las biografías de ambos por separados, que debe haber más de una buena en distintos idiomas, mejor aún es leer todo lo que se pueda de lo que ellos mismos escribieron, pero si se tiene tiempo y ocasión esta visión conjunta, compendiada seguro que es una buena aportación.
(D. Galleto and B. Barberis, Università di Torino) desconozco la fecha y otros detalles de la publicación.
Analogías matemáticas en la naturaleza
Uno de los éxitos de algunos saberes de la matemática en relación con la física y con otras ciencias de la naturaleza con las que está en efervescente interacción es la capacidad que tiene de escribir las analogías entre las cosas. Los físicos que se afanan en buscar relaciones, porque saben que es lo único que a la postre pueden conseguir (y no es poco ser consciente de esa situación), se ufanan también de sus logros que serían poca cosa sin el 
auxilio de la matemática.
Pero me gustaría en esta nota hacer una comparación bonita a cuento de un artículo técnico que encontré hace poco que compara matemáticamente la estructura de la formación de los anillos de Saturno con la evolución presa-depredador de una población. Para quienes sostienen que la forma de pensamiento matemático no es ‘natural’, al menos de entrada, para el ser humano que es sociable y verbal, me hace reflexionar en la duda de la veracidad de ese tipo de pensamiento.
¿Por qué encontramos los humanos (en este caso, los humanos autores del trabajo) analogías analíticas entre agregados de masa en formación de anillos y poblaciones de presas, o dispersiones de masas y población de depredadores?; será porque en nuestro afán de entender, las buscamos.
Los autores establecen con astucia una analogía que les conviene, para poder utilizar y aplicar resultados bien conocidos. Una herramienta de la inteligencia humana, simpática, alegre y divertida y además que optimiza conocimientos. Existen formas diversas de hacer ciencia de la buena, si vale esta expresión, en casi todas tienen importancia crucial las palabras. La forma de pensar con palabras no son siempre las mismas, al igual que las formas de pensar con imágenes tampoco lo son.
Si algún lector tuvo a bien ‘leer’, quizá se haya dado cuenta de que solo pretendía señalar el valor de las analogías, la fuerza de elegir buenos ejemplos, el aprender a construir y a pensar al revés, como programa de pensamiento y método de investigación pagado o gratuito, individual o colectivo. Y la pasión de aprender, o la felicidad de hacerlo.
Buscad analogías, por ejemplo entre la formación de anillos de los grandes planetas y los paisajes vivos, quizá encontréis que de algún modo son lo mismo
Un breve sobre ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales sirven como modelo en muy diversas situaciones relacionadas con el mundo físico, el estudio de los problemas que surgen al observar casos del mundo natural e interpretar los fenómenos que se observan reflexivamente y con afán de compresión de problemas.
La construcción de las ecuaciones diferenciales es un proceso lento y muy laborioso, y ocupa un largo periodo de tiempo histórico y muchas generaciones y cabezas pensantes cada cual con su aportación y con más de una culminación brillante por alguno de esos matemáticos cuyos nombres conocemos todos. Algunos gustan de caracterizar esta evolución clasificándola según etapas, cada una culminando en un hito importante.
Así por ejemplo, el lector puede encontrar a Cauchy y su teorema de existencia (1820), como el culminador de la primera etapa. Después vendría la etapa del rigor, la construcción del rigor, que daría paso al uso de la teoría de grupos continuos y la dinámica de Hamilton-Jacobi. Hacia 1880 ya hay un nuevo teorema de existencia que proporciona Picard y el perfeccionamiento continúa. La última etapa, por ahora, se desarrolla plenamente en el siglo xx con la generalización del análisis. Bueno esto no es más que una clasificación muy general, pero hay otras varias, el lector puede encontrar la que sea más afín a sus gustos y conocimientos, y a su propio estilo. Los que remontan el origen a Napier y los logaritmos, y a Torricelli pues gustan de ser refinados arqueólogos de las matemáticas, pues ciertamente las raíces se construyen muy poco a poco. Y en muchos pensadores de siglos anteriores encontramos trazas del pensamiento acerca de lo infinitamente pequeño. Descartes, Galileo, Newton, Leibniz.
Las ecuaciones diferenciales escriben muy bien las leyes de la mecánica y por ende, como la mecánica, es el prototipo más desarrollado de los estudios acerca mundo físico sirve también para adentrarse en otros campos del conocimiento conocimiento científico. Bernouilli, Euler, Ricatti, los nombres de las ecuaciones diferenciales son bien señalados, Liouville, Lagrange, Laplace, Gauss, Fourier, Legendre.
No quiero hacer un listado exhaustivo, solo quiero recordar que este objeto matemático es una de las herramientas más queridas por los físicos, y ellos creo que no es exagerado comentar, son instigadores de muchos de sus estudios y perfeccionamientos. Verdaderos artífices de la evolución matemática preciosa que suponen.
Los libros de mates sobre ecuaciones diferenciales son muchísimos, no cabrían aquí, yo tengo mis preferidos, cada quien escoja.
Conceptos matemáticos y físicos bonitos (XV): Espacios de dimensión infinita
Para iniciarse en el cálculo de variaciones tan útil en la física (y en la matemática per se) se requiere un notable conocimiento de ciertas herramientas conceptuales y de destreza matemática, y una visión física del mundo habituada a mirar y ver cosas poco visibles a ojo distraído.
Las diferencias notables entre los espacios de dimensión finita y los de dimensión infinitas no son meras cuestiones del lenguaje matemático, conllevan implicaciones en los estudios de las ciencias de la naturaleza. Es necesario tener buen conocimiento de compactos, espacios métricos y las propiedades fundamentales de los espacios normados así como de las aplicaciones, que son funciones, definidas entre espacios compactos.
La topología es crucial para avanzar en estos campos y es una rama que cobra especial importancia para el avance de la física en el siglo xxi. El buen conocimiento de los números reales desempeña un papel crucial en el buen desarrollo de la topología. Weierstrass hacia 1860 definió la idea de punto de acumulación, y a partir de ahí demostrar que todo conjunto infinito de números reales acotado admite al menos un punto de acumulación.
A partir de ahí, el siglo xix acabó a considerar conjuntos abstractos de aplicaciones generales. Aunque ya no se use mucho se empezó a utilizar el concepto de funcional que son objetos que depende de funciones. Volterra entre otros empezó a dibujar el análisis funcional, en los cuales los razonamientos sobre vectores se amplían notablemente a espacios de dimensión infinita, el cálculo de dimensión infinita el cálculo de variaciones que viene de lejos es importantísimo.
Un ejemplo de espacio vectorial de dimensión infinita es el espacio de funciones definidas sobre dominios de espacios vectoriales de dimensión finita, a partir de esta idea se puede ir construyendo los conceptos más útiles de este desarrollo.
Lo abstracto se acerca a lo real en esta confluencia y esta manera de actual suele ser un buen camino para trabajar en matemáticas.
Para entender de verdad las implicaciones de estas ideas matemático y los conceptos físicos en los cuales se contextualiza es necesario conocer el cálculo de variaciones y para ello cada cual elija su documentación o su texto preferido.
Sobre preguntas y respuestas de la naturaleza
¿Por qué cuatro fuerzas fundamentales? ¿Por qué la gravedad? ¿Qué buscamos al buscar leyes de la naturaleza? ¿Por qué son interesantes
las regularidades en el comportamiento de la naturaleza? ¿Qué sentido tiene buscar relaciones y comparaciones?
Preguntarse por las leyes de la naturaleza es una de las formas de mirar el mundo de los científicos de todos los tiempos, desde el nacimiento de la astronomía como primer estudio de la naturaleza más o menos sistematizado hasta nuestros días en los que la astronomía sigue siendo un estudio de primera línea. La teoría de cuerdas puede ser una forma de respuesta actual a ese esa forma de acercamiento al mundo.
El profesor Andrew Strominger que es un estudioso importante de esta mirada del universo, se formula algunas preguntas que están que parecen sencillas de formulación y asequibles, sin embargo la respuesta puede conllevar una reformulación total de nuestra visión del mundo. De una manera e incluso muy simpática el profesor muestra en algunas charlas divulgativas algunas de estas preguntas fundamentales y las preguntas que poco a poco se van dando los científicos; por ejemplo a mí me gusta mucho cuando se interroga transmutándose en Einstein quién tendría razón: Newton, Maxwell…, corriendo a la velocidad de la luz con un espejo en la mano, qué imagen vería… Resolver contradicciones, armar puzzles tarea esencial del científico naturalista como nos hace ver el propio Strominger. La mecánica cuántica y la relatividad cómo pueden encajar la una con la otra. Trabajando en esta línea nos explica cómo Einstein pensó que la gravedad es una ilusión y traslado toda la responsabilidad a la pura geometría, a la curvatura del espacio tiempo que origina la presencia de las masas. Luego nos lleva al otro extremo de las dimensiones, nos pasa del mundo de lo muy grande al mundo de lo muy pequeño el problema de la gravedad cuántica, la incertidumbre, y el problema matemático que la incertidumbre conlleva, el resultado de asociar la teoría electromagnética con la teoría cuántica y el origen de la electrodinámica cuántica. La triste asociación de la relatividad general con la mecánica cuántica y la basura que se obtiene. Este puzzle es terrible, mucho más difícil de lo que quisiéramos; sin embargo no hemos de detenernos hemos de avanzar y su propuesta es la teoría de cuerdas. Adentrarse en la teoría de cuerdas es el trabajo en el que se halla inmerso, la teoría de cuerdas y los agujeros negros. No es la primera vez que en este sitio traigo a colación este nexo de nuestro conocimiento con la naturaleza, pero es que creo que hay que alentar a las personas para que se acerquen a él y lo conozcan…
Recomiendo a quien pueda asistir a las charlas divulgativas de este profesor, son fantásticas. Bien, por honestidad debo decir que el hecho de que me parezca muy ilustrativo y que pienso que se puede aprender mucho, no significa que esté de acuerdo totalmente con él.
Ecuaciones y funciones bonitas (XIV): el teorema de Noether
Un teorema de la física alusivo a leyes de conservación siempre es un alivio para trabajar, seguro que algún problema nos quitamos de encima, o facilitamos la solución del mismo, que viene a ser la mismo, porque quitarse un problema lo que se dice quitárselo uno de 
encima es algo levemente distinto. Amalie Emmy Noether (1882-1935) que hizo numerosas e interesantes contribuciones a la teoría de invariantes y a la teoría de representaciones tenía la matemática al alcance de su mano en su hogar de nacimiento. Las estrechas relaciones que existen entre las leyes de conservación y las simetrías de un sistema son detectables si se sigue el curso de su evolución. En su forma más general esta ley se debe a Emmy Noether.
Un enunciado un poco informal del teorema de Noether podría ser el siguiente. Un hamiltoniano definido sobre la extensión en momentos de un espacio de configuración. Y además supóngase que una acción de un grupo de Lie sobre dicha extensión de momentos se hace mediante transformaciones canónicas y deja invariante el hamiltoniano.El momento para la acción citada es una integral primera del movimiento para el hamiltoniano.
Esta retórica verbal se completa y se entiende mucho mejor escrita en forma matemática y escrita formalmente tienes unas consecuencias fantásticas para el estudio y la comprensión de sistemas dinámicos que nos interesan. Por ejemplo una consecuencia importantísima y que a mí me gusta mucho es la que se podría contar diciendo que en un sistema en el espacio tridimensional cuyo movimiento está regido por un hamiltoniano invariante por las rotaciones alrededor de un eje, su momento angular en relación con este eje es constante en el transcurso de su evolución.
Bueno la licencia que me he permitido al enunciar de esta manera poco ortodoxa estos importantes resultados de la matemática que han contribuido de manera notable al desarrollo de la física del siglo xx, sirvan para alentar a los curiosos a adentrarse en la biografía de esta científica de un parte, pero de otra anímense a estudiar o a leer matemática, ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos, no se desalienten los lectores mentalmente, y tengan la presencia de voluntad para adentrarse en un estudio poniendo a trabajar sus capacidades cognitivas como lo harían en cualesquiera otra circunstancia.
Esta reseña es solo un recordatorio, ni siquiera alcanza la categoría de un homenaje
Elementos esenciales de física matemática (XIII). Sobre ‘observables’
Es posible que resulte una temeridad intentar un comentario sucinto sobre un asunto estructural clave de la física que se ve trasladado a la física matemática. La idea de observable que es clave, y por tanto, es utilizada con asiduidad no siempre es entendida de la misma 
manera por sus usuarios, en ese sentido para que resulte fecunda es muy relevante su tratamiento matemático. A mí me resulta familiar como se entiende en física, pero eso no es decir gran cosa, tampoco estoy segura de que todos los físicos entiendan de igual manera este concepto. El consuelo siempre es que al menos lo utilizan igual, pero bueno eso no es infrecuente, ocurre desde las leyes de Newton en adelante, las usamos todos igual, pero ¿las interpretamos todos de la misma manera?
Por intentar una concreción rigurosa matemática digamos que un observable es una función escalar diferenciable sobre su dominio de definición. Claro de este modo hay que dar por sentado que el lector conoce o está dispuesto a conocer o al menos saber emplear con soltura todos los elementos que conforman la anterior definición. Que el estudiante de física esté familiarizado con las aplicaciones diferenciales en coordenadas locales es lo normal, no lo es tanto que lo estén otras personas con diferente formación. Pero para el caso que nos ocupa en estos renglones quería solo recordar que los observables son elementos de trabajo imprescindible para nosotros, y que de ninguna manera alguien interesado en tratar con cierto cariño esta materia debiera dejar al albur de las palabras este término como si fuera cosa de poco o parte ramplona de la jerga.
Es endiabladamente difícil llevar a cabo una discusión matemática elemental y por tanto trasladable a estas notas de estos conceptos tan frecuentes, esto es debido a que la noción de función diferenciable definida sobre un conjunto cerrado es bastante delicada. En una variable, todavía nos podemos defender refiriéndonos a derivadas por la derecha y por la izquierda en un intervalo. Para dimensiones mayores la cosa se complica en extremo. Habrá que referirse a puntos críticos y otros elementos tan hermosos y sutiles como estos, quizá en otra ocasión.
Animo al lector a recurrir siempre al maestro Feynman y a cualquiera de sus maestros matemáticos favoritos, siempre nos queda la mecánica celeste para soñar.
Funciones, ecuaciones y conceptos sugerentes (XX): Gravity Lessons
He aquí uno de mis temas favoritos, un tema que me resulta familiar y simpático. Esta magnífica gravedad de nuestros andares y alegrías de lunas y manzanas, pero a veces también de pesadillas. La gravedad, aunque a veces no lo parezca, no es un concepto sencillo, un concepto con un enorme poder explicativo, pero con una difícil comprensión certera. He leído en un artículo bastante reciente de 2008 que esta idea se suficientemente simple, sobre todo cuando explica algunos hechos que no necesitan explicación. Me ha hecho gracia la aseveración, porque a mí me parece que el autor tiene razón, la gravedad clásica nos resulta cotidiana, y la mayoría de la gente está familiarizada con ella, pero eso no quiere decir que su encaje en las teorías sea sencillo, y que en los extremos y fronteras sea asequible.
El principio de equivalencia tal y como lo trató Einstein es crucial para una comprensión moderna y actualizada, bueno hay que relativizar en el sentido de relativismo la idea de actualizada, debido a que algunas cosas nuevas se sabe. Se sabe, por ejemplo, nuevas cosas sobre agujeros negros, se conoce mucho mejor su termodinámica y se realizan estudios comparativos y de modelización matemática sobre su dinámica y termodinámica.
Hasta el advenimiento de las ideas de Einstien, la gravedad se estudiaba en el marco de un espacio-tiempo por una métrica asociada. Pero el perfeccionamiento que supuso la escritura de las ecuaciones de campo.
Lo que ocurre es que suceden muchas cosas diferentes cuando la métrica se torna ‘dinámica’ y permitimos transformaciones arbitrarias de coordenadas o de otro modo, si admitimos como válido un observador que se sitúe para hacer física en cualquier curva temporal.
El principio de equivalencia tiene, según algunos autores, consecuencias sorprendentes y hace que la luz se vea afectada por la gravedad, por ejemplo.
Y muchas otros hechos como la relación de la entropía y los horizontes locales, y algunas otras relaciones termodinámicas.
La física es joven, seguimos pensando en ella y sobre ella con cariño.
El debate científico de la biomatemática: Volterra & Kostitzin
La posición intelectual de Vito Volterra (1860-1940) sin haber sido descrita en su generalidad, ni mucho menos analizada con cierta finura, ha sido varias veces admirada y señalada de un modo preciso en este blog. No es el matemático más relevante de la historia -si es que cabe esa expresión-, no es el más influyente en la ciencia, ni el padre de nada.
Supo aplicar sus estudios y sus conocimientos a la biología y abrió un nueva perspectiva. La traslación de la mecánica al mundo de lo viviente se hizo de modo directo vía la física, y la biofísica cada vez está más en auge en parte gracias a la rama joven de los sistemas complejos, y en parte vía a la modelización matemática, léase ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos… y todos los elementos de la física matemática. Esta visión no solo abrió un nuevo campo para el desarrollo de la pura matemática que tanta complacencia generaría a muchos, sino que en paralelo con la aplicación de la modelización matemática a la economía constituye una visión del mundo orgánico muy diferente de la tenida durante los siglos anteriores al XX.
A mí me simpatiza este gran matemático que combinó ese quehacer con el naturalismo plasmándolos en unos estudios muy bonitos, seguramente también desde el punto de vista estético, porque fue una persona auténtica, una personalidad íntegra en un mundo difícil y convulso, porque a su honestidad matemática aunó su honestidad humana. Admiro mucho a otros maestros de los que siempre hay que aprender, pero sé de pocos que me interesen como personas. Intuyo que este hombre es uno de esos pocos notables matemáticos, cuya excelencia no deriva o va pareja a sus terribles deficiencias como ser humano. Claro, no es el único, sin pensar dos veces me viene a la cabeza Jürgen Moser (1928-1999) de quien el profesor Jörg Waldvogel de Zurich me habló con entusiasmo y cariño, y hay más pero no son mayoría.
Hay un artículo muy bonito que se titula La correspondencia entre Vladimir A. Kostitzin y Vito Volterra (1933-1962) y los inicios de la biomatemática está escrito por Giorgio Israel y Ana Millán Gasca, no dispongo del enlace, pero no creo que sea difícil conseguirlo en google y es una lectura muy recomendable para estudiosos, estudiantes, lectores y personas interesadas en estos ámbitos y ambientes. Una ecuación a veces vale más que una imagen, una imagen a veces vale más que mil palabras, a veces mil palabras son más ilustrativas que una imagen. Pero si disponemos de la posibilidad de contar con todo, nuestras limitaciones parecen menores.
No gloso el artículo deliberadamente, es corto y conviene leerlo, no quiero desvelar pequeños secretos con mi interpretación, debate científico, mecanicismo, ecuaciones diferenciales, biomatemática…, son algunas de las palabras clave, pero no se agota ahí el artículo.
Baricentro Blog 