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El caso Kovalevskaya

Sofía Kovalevskaya (1850-1891)  -la transcripción del nombre supongo que deja mucho que desear- es una mujer prototipo en la historia de las ciencias duras, mujer matemático, que tuvo que realizar toda suerte de artimañas a su alcance para salir adelante y sobresalir en un mundo de hombres en un tiempo de hombres. Con un talento por encima, muy por encima, de la mayoría de los varones contemporáneos, su historia es tan rocambolesca que parece propia de una película de acción, de acción intelectual, con bodas amañadas por conveniencia, para poder salir adelante y con belleza, amor verdadero, amistad… una vida interesante y llena de emociones, posiblemente, tan llena también de conocimiento de pensamiento hermoso, que también hay que reconocer algunos de los más grandes supieron reconocer y encontrar, no hay que olvidar la importancia en su vida que tuvo su maestro Weierstrass o Mittag-Leffler grandes matemáticos.

Recojo el título de esta nota de un artículo “Le Cas de Sophie Kovalesvskaya” par Jean-François Peyret para el festival de Avignon de 2005.

[…]The title of the play sets up these multiple views: The Case of Sofia  K. refers of course to the mathematical problem, that builds on earlier work of Euler and Lagrange, in which a system of differential equations is solved in closed form by means of elliptic functions.[…]

La reseña de la obra teatral a la que me estoy refiriendo se debe a Alain Juhel y en ella se hace una buena selección de citas alusivas a la personalidad, al trabajo y a la singular vida de esta dama de las matemáticas. Salen a relucir sistemas dinámicos, el célebre y complejo problema de los tres cuerpos y algunos de aquellos asuntos matemáticos relevantes en los que esta mujer participó. Las referencias biográficas que cita las desconozco pero no deben ser de interés escaso por lo que he podido ver.

El artículo con ser pequeño resulta sustancioso y sobre todo da muchas pistas en las que leer acerca de esta eminente persona quien desee estar informado sobre las cuestiones en las que aportó algo, en las que tenía que decir cosas, que por otra parte son tan actuales lea como primer paso este pequeño artículo de la revista The Mathematical Intelligencer, creo, aunque no recuerdo bien.

Movimiento en espacios curvos

Dos magnitudes físicas que no tienen ninguna relación entre sí a priori son estrictamente proporcionales la una a la otra, son como ya está viendo venir el lector las dos acepciones de la voz masa. La observación de esta magnífica igualdad configura el basamento sobre el que se conforma la teoría de la relatividad einsteniana.

La masa de la física clásica, la que usamos a diario en nuestros quehaceres, es una medida de la resistencia a la aceleración de un cuerpo, lo cual se corresponde con el estricto cumplimiento de las leyes de la dinámica, es el coeficiente de inercia. La otra idea de masa proviene del concepto de acoplamiento a un campo gravitatorio. ¿Por qué  estos dos entes son iguales? No parece haber ninguna razón de inicio -sobre todo si se piensa en términos de analogía con el campo electromagnético en el cual el movimiento de una partícula cargada definido por dos parámetros el coeficiente de inercia y el coeficiente de acoplamiento que son distintos (léase la masa y la carga)-.

El peculiaridad gravitacional hace que la masa pesante y la masa inercial desaparezcan de las ecuaciones del movimiento. De otro modo, dos cuerpos están dotados del mismo movimiento bajo las mismas condiciones iniciales, cualquiera que sea su masa.

La constatación de la importancia de este hecho es relativamente reciente. Sin embargo a los ojos relativistas, esta idea se torna natural si cambiamos de posición para mirarla, esto es, si en lugar de pensar en términos de campo gravitacional, lo hacemos en términos de espacios curvos, con más precisión, de espacio-tiempo curvo, así se pasa de conceptualizar a partir de un campo de gravedades a hacerlo desde un movimiento libre.

Aquí constatamos dos bellezas la del pensamiento hondo y la de los conceptos preciosos y precisos. La historia contada por Einstein sobre sus aventuras mentales, sus reflexiones y trabajos sobre cómo combinar la gravitación universal con la relatividad, a estas alturas no supone ninguna sorpresa para nadie constatar que tuvo la idea más feliz de su vida en esos momentos, “glücklichster Gedanke meins leben”. Sus meditaciones, cuenta en la descripción, se refieren al sentimiento de una persona cayendo de un tejado. Para un observador así, no existe campo gravitatorio, si soltase el contenido de sus bolsillos no caerían, permanecerían en reposo o en movimiento uniforme.

Un campo gravitatorio así localmente visto resulta durante un tiempo pequeño idéntico a un movimiento respecto a un referencial inercial…

Animo al lector a adentrarse por este camino, en otra ocasión más…

Avances y conjeturas acerca de los espacios De Sitter

El universo en expansión según las predicciones de la teoría de la relatividad general de Einstein (1879-1955) recibe el nombre técnico de espacio de Sitter (1872-1934); de otra manera, unas soluciones exactas de las ecuaciones de campo einstenianas que se traducen en expansión se conocen entre los expertos con estas siglas DS.

Recientemente he tenido ocasión de leer un artículo muy interesante, que es un estudio cosmológico centrado en la teoría de cuerdas que gira alrededor de estas ideas que van y vienen desde que se formularon por vez primera, y que han madurando y creciendo desde su primera expresión con la aportación de los estudiosos del tema y el soporte inestimable de los nuevos conocimientos tecnológicos. Los autores hacen un trabajo físico matemático, y describen inicialmente el marco general de su estudio considerando un espacio-tiempo De Sitter dotado de un observatorio eterno (la idea inicial es preciosa), matemática lo formulan como un DS considerado en un futuro asintóticamente. En esta situación, la descripción clásica de la métrica asociada en la frontera conlleva la deformación asociada al flujo de la radiación gravitacional.

Para superar esta condición, los investigadores proponen un futuro no convencional, en el sentido anteriormente descrito, con una condición Dirichlet (1805-1859) en la frontera, que con otra métrica resulta violar el principio convencional de causalidad, aunque según los autores estas violaciones no se detectan en los experimentos realizados en el observatorio eterno (como metafísica sigue siendo fantástico).

Como punto de partida atrayente no tiene desperdicio, el artículo es largo y está lleno de recovecos conceptuales que no son asequibles para la mayoría de los no expertos. Para entenderlo de verdad hay que manejarse bien con tensores y métrica conforme, estar familiarizado con la métrica lorentziana, del espacio-tiempo, con la esfera de Riemann y en definitiva estar en grado de leer documentos matemáticos no   fáciles.

Las conclusiones lejos de ser cosa de poco invitan a seguir por el camino de los nuevos paradigmas cosmológicos y modelísticos que se empezaron a forjar el siglo pasado, pero que aún permanecen en mantillas deseosos de ser utilizados.

Mi idea con esta reseña es involucrar a los interesados en el acercamiento a las teorías cosmológicas en estudio en la actualidad referenciándolas con los estudios inciados en la teoría de la relatividad.

Future Boundary Conditions in De Sitter Space by Dionysios Anninos, Gim Seng Ng and Andrew Strominger

Sistemas mesoscópicos

La frontera entre el mundo clásico y el cuántico es un campo muy fructífero de estudio e investigación en la físico-matemática actual. La interfaz entre ambas disciplinas aquí se diluye, los lenguajes se entremezclan y se combinan, los intereses se transfieren de unos a otros. El objeto de nuestro estudio nos torna indistinguibles, estamos ante un nuevo nacimiento de ‘la’ ciencia moderna. 

En este desarrollo científico que se está produciendo la idea de simetría (de nuevo) cobra una fuerza especial porque parece ser la que ‘pone orden’ en este mundo emergente.

En la frontera entre el mundo clásico y el cuántico viven los sistemas mesoscópicos cuyas propiedades  de transporte y de espectro se rigen por leyes matemáticas asociadas a la simetría, y es en el mundo de la simetría donde se buscan los objetos matemáticos que definen, describen y escriben estos sistemas de cuyo interés tecnológico para la construcción de dispositivos electrónicos nanométricos se tenía amplia constancia, y que además se muestra como  fascinante fuente de conocimiento y creación en la ciencia básica. La gran variedad de fenómenos que originan son una mina rica de ideas para la creación científica.

Los objetos matemáticos asociados son espacios simétricos (compactos y no compactos) cuya geometría y análisis están desarrollando equipos de investigación matemáticos, la teoría de campos las supervariedades diferenciables y todo el utillaje matemático exploratorio está en marcha y en funcionamiento. En cuanto a las ideas y estructuras fijas con las que se conectan, estas investigaciones se mueven en el mundo de  las dimensiones de la ‘coherencia’ de la fase electrónica, en el mundo cuántico donde la coherencia no se ha perdido por efectos térmicos y disipación, la estabilidad estructural está garantizada en esta escala por el caos clásico.

Los sistemas bosónicos y fermiónicos son un excitante reclamo exploratorio en el ámbito de los sistemas mesoscópicos y quizá permitan encontrar los mecanismos subyacentes que gobiernan las leyes universales que los rigen.

He leído varias cosas y estoy en ello de este tema, no es esta nota la referencia de ninguna en concreta, solo pretende ser una llamada de atención al lector sobre un mundo maravilloso que está en este mundo, puedo citar por animarme tibiamente a  alguno, aunque seguro no es el más cercano al tema Stability and instability results in a model of Fermi acceleration by Jacopo de Simoi.

Busque el lector cuanta literatura al respecto dispersa  ya hay y adéntrese en este mundo.

Sofia Kovalesvkaya “souvenirs”

Una biografía matemática exhaustiva escrita en francés (Souvernirs sur Sofia Kovalevskaya). La enorme cantidad de información rigurosa que aporta, los escogidos ejemplos matemáticos que presenta su autora, Michèle Audin, las anécdotas interesantes, las peripecias de una mente brillante en la Europa machista de casi toda la historia de la humanidad.

Sofía Kovalevskaya (1850-1891) hizo aportaciones importantes y aún hoy fuente de inspiración en muchas ramas matemáticas. Fue una buena escritora y una buena discípula y amiga de algunos grandes (por ejemplo, Weierstrass, Mittag-Leffler) sin cuya ayuda no habría podido, quizá, llegar tan lejos como lo hizo. A veces las adversidades son una fuente de crecimiento y esto se nota en los más grandes.

Uno de los pasajes más bonitos del libro es aquel en que la autora, también matemática, recoge una preciosa carta que le escribió al gran y guapísimo G. Mittag-Leffler, es una delicia epistolar sin desperdicio.

Este trabajo merece la pena ser leído y recomiendo vivamente que lo hagan aquellos que gustan de la matemática, de la historia de la matemática y de la historia del talento humano.

La vida y la obra están perfectamente entrelazadas en este volumen, y es que a diferencia de otros grandes en los que solo hay obra a considerar, en esta persona hay vida rica y obra rica, hecho que no es infrecuente entre las mujeres de valía. He observado a través de estas grandes damas que no es necesario renunciar a la vida para desarrollar una actividad intelectual relevante, de cualquier índole. Algunas de ellas, las mejores, nos enseñan que las personas somos capaces de caminar a nuestro paso si queremos hacerlo y podemos hacerlo. De estas grandes chicas, estamos orgullosos todos los seres humanos, nos mejoran.

El libro está estructurado en 12 capítulos, contiene amplia bibliografía de consulta y gran número de fotografías, documentos, y ejemplos de las aportaciones de Sofía. Es muy ameno de leer y está bien articulado. Como está escrito con admiración y pasión, el libro desborda alegría. Se hacen presentes pequeños pasajes matemáticos muy bonitos, comentarios entre colegas (entre grandes colegas) notas, dudas, opiniones, estudios, reflexiones, visualizaciones, presentimientos matemáticos quizá…

No me decido a señalar alguna orientación más, hay decisiones que prefiero dedicar al lector.

La edición es de Calvage & Mounet, exquisitamente cuidada, y publicada en París, 2008

Leer a Arnold

Vladimir I. Arnold (1937-2010) Para no extenderme demasiado en esta ocasión y dejar que sea él mismo quien hable adjunto un documento que es una traducción de un prólogo de un libro suyo que ya comenté aquí. Quizá  todo lo demás sobra

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Teoría de las catástrofesRH-Arnold catástrofes

Sucintos comentarios sobre entes matemáticos interesantes (IX): espacios de configuración

Los sistemas mecánicos (y otros sistemas físicos) que son especialmente interesantes se modelizan encuadrados en un marco global que supone la generalización de las coordenadas locales y que con frecuencia se reconoce como espacios curvos, que en sentido ampliado se designan con la expresión espacios de configuración.

Los matemáticos enseñan que los espacios de configuración son indisociables con la modelización de un sistema del cual nos interesan sus propiedades globales. En ese sentido, la estructura matemática de pensamiento proponen que es necesario que las coordenadas locales han de cumplir unas condiciones para resultar útiles, lo que en sentido físico más tosco podríamos enunciar como que sean adecuadas o cómodas, un problema se ve mejor si se observa desde una posición adecuada. En esta situación hay que tener en cuenta y conjugar las necesidades de espacios de dimensión infinita que se presentan en muchos problemas de la física.

Como ejemplo de herramientas interesantes que es conveniente manejar con soltura para moverse en espacios de configuración con solvencia son inevitables las aplicaciones diferenciales (entre espacios de configuración). Piense el lector en los espacios vectoriales que tratados con las herramientas propias de los espacios de configuración conducen a las coordenadas curvilíneas, así algunos problemas geométricos se ven muy bien desde esta perspectiva (esferas, toros… cuestiones de geometría proyectiva), si se consideran las coordenadas clásicas y algunos casos que pensamos como prototípicos de la mecánica en los cuales estos son los espacios de configuración. Hay bastantes ejemplos muy bonitos y muy útiles, cabe citar el de los grupos de rotación de la mecánica del sólido que se mueve en torno a un punto, los cuales conllevan una geometría muy rica asociada a un sólido alrededor de un punto fijo, la idea de spin procede de las parametrizaciones clásicas de Euler y Cayley Klein para este caso.

Matemáticamente un espacio de configuración es un espacio topológico separado, en el que cualquier punto está rodeado de una bola abierta homeomorfa a un espacio vectorial; en definitiva, simplificando cabría decir que la información que proporcionan los espacios de configuración sobre los espacios mecánicos es la de todas las posiciones posibles y la dimensión de la variedad diferenciable que llevan asociados identifican los grados de libertad.

Mi propuesta en esta nota se relaciona con la voluntad constante que me anima a señalar al lector que pierda el miedo a adentrarse por caminos no trillados, lo fácil suele cansar antes y es de una belleza que se marchita pronto, en la enjundia de los libros buenos de cálculo variacional se encuentra más emoción y hermosura que en cualquier simplificación rápida… esa es la opinión que apoyo

Riemann, sobre algunos escritos científicos célebres y otros inéditos

Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. “Sobre las hipótesis subyacentes en la geometría” más o menos es mi traducción, título de la tesis de habilitación leída por Bernhard Riemann (1826-1866) el 10 de junio de 1854, en la facultad de filosofía de la Universidad de Göttingen, fue publicada muy posteriormente. Con este trabajo, Riemann parece que dejó perplejos a muchos de sus contemporáneos, aunque otros ya estaban muy al corriente de la excepcionalidad de este matemático, estudió bajo la férula de Jacobi (1804-1851) y Dirichlet (1805-1859) a quien sucedió en la cátedra en Göttingen.

Tengo una versión italiana de este trabajo, que junto con algunos escritos científicos inéditos y otros que no lo son tanto conforman un librito que guardo como una de las joyas de mi biblioteca personal.

Al atreverme a esbozar algunas palabras sobre una obra, quizá de las más importantes que he comentado hasta el momento aquí, no quiero engañar al lector con falsas esperanzas de que todo es fácil, asequible y está al alcance de cualquiera que sepa leer frases completas con sentido. Es un libro precioso e interesante, pero no hay concesiones a lo facilón, al menos en el escrito principal. Se debe leer, al menos yo así lo creo, sosegadamente, y varias veces. En fin si alguien piensa que ver lo que vio Riemann es difícil es que es difícil. En este volumen también he encontrado otros textos de menos enjundia conceptual, quizá algo más asequibles, también menos conocidos, algunos según señala el editor inéditos, pero tampoco son cosa de poco.

Puedo decir que he pensado y pienso mucho sobre las lecturas que contiene este libro, que es una fuente de ideas asombrosa, no se agota en sí mismo de ninguna manera. Da tantas alas, invita a seguir tanto… esboza tantas ideas que una intentaría desarrollar o que estimulan la imaginación y hacen sentir al lector un buen pensador.

Claramente una obra muy recomendable, siempre y cuando se disponga de un lugar donde dejarlo a mano, y retomarlo cuantas veces haga falta, y releerlo combinándolo con otras lecturas. Y desde luego hay que tener una buena base matemática sobre todo, pero también física y cultural en general. Yo animo a los lectores, a que trasciendan la divulgación y se atrevan a ahondar. No auguro arrepentimiento.

La edición que comento es de Bollati Boringhieri (Turín) de 2008, la más dura ni me atrevo a mencionarla

Teoría lagrangiana de campos

‘A veces es necesario poner un mar de por medio para ver las cosas más de cerca’, lamentablemente no recuerdo el nombre del autor, ni la obra, aunque creo recordar al músico y literato Alejo Carpentier, pero no afirmo con rotundidad.

La mayor parte de los estudiantes-estudiosos de  mecánica con los que voy tratando que disfrutan viendo las cosas de una manera cada vez más completa, vislumbrando cada vez más, suelen madurar el formalismo lagrangiano poniendo un mar de por medio.  Otros no, claro está, hay quienes se apropian desde el principio de esta poderosa herramienta, descarto a los que no logran interesarse.

Quizá lo primero que haya que tener presente cuando se acerca alguien a curioserar en esta fuente de sorpresas agradables, aunque quizá al principio duras, es que la máxima potencia del formalismo se consigue se consigue en sistemas de un número de grados de libertad elevados (el lector puede interpretar infinitos), como en la mecánica del continuo.

La teoría de campos es tan enorme que recubre la campiña en la cual podía estar situada escribiendo estas líneas o el lector encontrándose con ellas. Esta vasta teoría es de una riqueza extraordinaria cuando se utiliza en las teorías de las interacciones fundamentales y claro en la cuantificación de los campos.

Para leer sobre la teoría clásica de campos gravitacionales lo más bonito es leer los trabajos de Landau. En la teoría electromagnética de campos desempeñan un papel insustituible porque facilitan mucho la tarea y dan nueva luz a la misma.

Una manera bonita de introducirse en este terreno es estudiar la física de una cuerda vibrante, y de una manera elegantísima se obtiene la ecuación de ondas, la clave es la extensión al continuo, recuerde el lector a un número infinito de grados de libertad, en el que se observa con asombro de qué manera tan precisa el formalismo lagrangiano se adapta a este problema, como un guante.

Una vez el lector supera esta fase puede pasar a un orden superior y atreverse con la ecuación de difusión de Fourier, que se puede tratar como un fenómeno disipativo (no es reversible). Aquí ya se puede enlazar con la ecuación de Schrödinger y estudiarla con este punto.

Pero quizá el lector debería detenerse con mucho tiempo por delante en el caso del campo electromagnético, porque si logra superarlo habrá llegado mucho más lejos que la mayoría. El campo magnético que es inseparable de las partículas cargadas, sus fuentes.

Me gustaría que alguna persona se lanzara al interior de este mundo, esa una osadía que en unos cuantos renglones se logre despertar el interés, pero si se consigue mínimamente lo doy por bueno.

Un artículo de Einstein recuperado en el siglo xxi

Una traducción de un artículo ‘inédito’ de Albert Einstein (1879-1955) datada en 2006, se refiere, en el plano teórico, a la superconductividad el traductor a quien esta lectora agradece el trabajo es Bjoern S. Schmekel, introduzco el título sin alargar más Theoretical remark on the superconductivity of metals en -arXiv.org-.

superconductividad

Tras una breve introducción sobre el carácter y el valor del experimento científico en la elaboración de las teorías físicas, o lo que es lo mismo -más o menos-, en la construcción del conocimiento racional del mundo, entra de lleno en el problema que pretende abordar que no es otro sino el de la evolución de la idea de conductividad de los metales debido, en parte, a la ‘revolucionaria’ noción de superconductividad. Para llegar a entablar una analogía con la teoría cinética de los gases va desgranando el autor sus argumentos, y así las conductividades eléctrica y térmica tan propias de las sustancias metálicas se muestran en correlación inmediata  con movimiento de electrones y de ahí se pasa, casi sin solución de continuidad, a la analogía con la teoría cinética de los gases. La traslación se hace considerando el papel que desempeñan las moléculas de los gases como representado por los electrones.

En el artículo continúa la simpatía por la comparación entre teorías por la idea de dar buenos resultados numéricos: predice adecuadamente índices y coeficientes de valor experimental y otros motivos similares. La relación de la resistencia con la temperatura metálica, en general todos los tópicos de la materia son tratados con fluidez, explicados con claridad y por decirlo en resumen resultan bien contados, aparecen la teoría cuántica como fuente de explicación, Rutheford, los movimientos de los electrones en las superficie de los metales.

A mí me parece un artículo muy agradable de leer, muestra un encadenamiento de razones y razonamientos de manera natural, clara y bien expuesta. Un enseñanza para todo lector ávido de ciencia es que la cultura en general y la científica en particular es una fuente natural de conocimiento científico que puede alimentar la intuición y la imaginación creadora, además de proporcionar noticias de cosas que son válidas.

Un artículo muy recomendable para estudiosos, y para los amigos de leer Einstein.

Agradezco la cuidada traducción, y la puesta en Arxiv de este trabajo

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