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El debate científico de la biomatemática: Volterra & Kostitzin

La posición intelectual de Vito Volterra (1860-1940) sin haber sido descrita en su generalidad, ni mucho menos analizada con cierta finura, ha sido varias veces admirada y señalada de un modo preciso en este blog. No es el matemático más relevante de la historia -si es que cabe esa expresión-, no es el más influyente en la ciencia, ni el padre de nada.

Supo aplicar sus estudios y sus conocimientos a la biología y abrió un nueva perspectiva. La traslación de la mecánica al mundo de lo viviente se hizo de modo directo vía la física, y la biofísica cada vez está más en auge en parte gracias a la rama joven de los sistemas complejos, y en parte vía a la modelización matemática, léase ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos… y todos los elementos de la física matemática. Esta visión no solo abrió un nuevo campo para el desarrollo de la pura matemática que tanta complacencia generaría a muchos, sino que en paralelo con la aplicación de la modelización matemática a la economía constituye una visión del mundo orgánico muy diferente de la tenida durante los siglos anteriores al XX.

A mí me simpatiza este gran matemático que combinó ese quehacer con el naturalismo plasmándolos en unos estudios muy bonitos, seguramente también desde el punto de vista estético, porque fue una persona auténtica, una personalidad íntegra en un mundo difícil y convulso, porque a su honestidad matemática aunó su honestidad humana. Admiro mucho a otros maestros de los que siempre hay que aprender, pero sé de pocos que me interesen como personas. Intuyo que este hombre es uno de esos pocos notables matemáticos, cuya excelencia no deriva o va pareja a sus terribles deficiencias como ser humano. Claro, no es el único, sin pensar dos veces me viene a la cabeza Jürgen Moser (1928-1999) de quien el profesor  Jörg Waldvogel de Zurich me habló con entusiasmo y cariño, y hay más pero no son mayoría.

Hay un artículo muy bonito que se titula La correspondencia entre Vladimir A. Kostitzin y Vito Volterra (1933-1962) y los inicios de la biomatemática está escrito por Giorgio Israel y Ana Millán Gasca, no dispongo del enlace, pero no creo que sea difícil conseguirlo en google y es una lectura muy recomendable para estudiosos, estudiantes, lectores y personas interesadas en estos ámbitos y ambientes. Una ecuación a veces vale más que una imagen, una imagen a veces vale más que mil palabras, a veces mil palabras son más ilustrativas que una imagen. Pero si disponemos de la posibilidad de contar con todo, nuestras limitaciones parecen menores.

No gloso el artículo deliberadamente, es corto y conviene leerlo, no quiero desvelar pequeños secretos con mi interpretación, debate científico, mecanicismo, ecuaciones diferenciales, biomatemática…, son algunas de las palabras clave, pero no se agota ahí el artículo.

Fuerzas dependientes de la velocidad, un curioso y bonito problema de la mecánica

El ingenio tiene muchas caras algunas son muy bonitas, este que cuento ahora me gusta mucho. Los formalismos de Newton y Lagrange coinciden en los casos de las fuerzas que proceden de un potencial (fuerzas no disipativas), sin embargo para las fuerzas de rozamiento que se pueden escribir como función de la velocidad, la cosa es más peliaguda, bueno de hecho son tan dificilmente encajables que forman otro pequeño corpus de conocimiento. La mecánica de los medios continuos resulta, de este modo, más apropiada y de hecho muy agradable para estudiar estos procesos naturales.

Sin embargo, hay un ejemplo muy bonito en el que resulta interesante tratar sistemas disipativos simples con un pequeño truco. Fíjese bien el lector aquí en la idea de ‘sistema espejo’ para familiarizarse en cierta manera con algunas formas de la heurística propia de esta ciencia. Pero cuidado, hay que tener en cuenta que esta trampa matemática no debe hacer caer a nadie en la tentación de otorgar sentido físico a lo que no lo tiene, no hay que perder el norte. Siempre hay que tener cuidado al manipular este tipo de tratamientos y de cosas.

Supongamos que por efecto Joule, rozamiento, o cualquier proceso de este tipo, un sistema pierde energía, la astucia consiste en acoplar adecuadamente un sistema espejo ficticio que sería el encargado de absorber toda la energía que se pierde en esta disipación, de tal manera que la energía total de ambos sistemas permanezca constante en el curso del tiempo.

mx”+ Rx’ + kx = 0 Vea el lector esta ecuación (oscilador armónico amortiguado), ahora el oscilador amortiguado espejo que precisamos para atacar el problema mediante el formalismo lagrangiano tendrá como coordenada x* por ejemplo. Esto facilitará la escritura del Lagrangiano para el conjunto formado por los dos sistemas, luego de obtener los momentos conjugados y comprobar que no tienen ninguna relación con el momento del oscilador (mx’) se consiguen escribir con alguna costumbre en estas tareas las ecuaciones mx”+ Rx’ + kx = 0 y  mx*”- Rx*’+ kx* = 0, bueno aquí ya está la ecuación del oscilador que absorbe constantemente la energía que el primer oscilador pierde.

La energía se conserva en el tiempo, x* crece tan rápido como x disminuye.

Bonito ejemplo para animar al lector a retomar de su estantería el Landau, el Feynman o cualquiera de sus libros de mecánica favoritos.

Sobre los bordes del universo

Está la cosmología de nuestros días en gran actividad, nunca dejó de estarlo cuando la humanidad era joven y miraba el cielo, y ahora que está un poco más cansada, pero no ha crecido demasiado y depende del cielo sin mirarlo demasiado. La teoría de cuerdas está muy cerca de nosotros, muy en la investigación de la física matemática y de los desarrollos matemáticos asociados tanto a las ecuaciones diferenciales (como casi siempre…) y a su evolución más reciente hacia la topología que tan útil resulta para atacar problemas de la mecánica cada vez más sofisticados y refinados, cada ve mejor conocidos (más o menos).

Si un agujero negro, como explica con claridad el profesor A. Strominger, es simultáneamente el objeto más sencillo del universo (en sentido dinámico) y el más complejo (en el sentido termodinámico) es conveniente estudiar la ecuación puente que permite observar estos cuerpos en ambas facetas, así trabajar el modelo matemático que se asocia a un agujero negro posiblemente sea una fuente de estudio matemático durante el siglo xxi (al menos eso opina el profesor Strominger, y es una opinión a considerar). La contradicción es una fuente de conocimiento en la ciencia física, una fuente de comprensión de las leyes de la naturaleza, y el colorido estilo con que  presenta en sus lecciones el profesor Strominger que tanta sencillez y ‘naturalidad’ aparenta, lecciones además envueltas en un sentido del humor que no enturbia ni por un instante la dificultad conceptual que se está mostrando constantemente al encantado auditor de sus charlas o al lector de sus artículos. No hay más que seguir el hilo conductor que estos nos muestran para intentar ahondar en el futuro próximo de nuestro conocimiento y comprobar una vez más que es necesario e imprescindible estar al día o un poco por delante en los estudios matemáticos que se están realizando en el ámbito no solo de las ecuaciones diferenciales, material clásico de la física, sino en el de la topología y las nuevas geometrías en las que no dejo de insistir en que se deben adentrar los lectores que aspiren a comprender, aportar o simplemente disfrutar del conocimiento del universo. Quien sabe dónde está el siguiente eslabón…

Palabras clave: agujeros negros, horizonte de sucesos, bordes del universo, teoría de cuerdas

Recomiendo sencillamente indagar en estos temas, con buen ánimo y con afán de aprender

Jacobi y la ‘acción’

Admirador y crítico, así le describe Martin-Robine. Los que físicos teóricos que se dedican de pleno a los sistemas dinámicos o a la mecánica cuántica enlaza estos nombres como el de una pareja bendecida por la indisolubilidad. Al pasar por una facultad de física se ha pasear necesariamente por esta bonita ecuación

\frac{\part S}{\part t} = L - \sum_i p_i\dot{q}_i = -H(p_i,q_i)                (*)

Aquí reconocemos a Lagrange (1736-1813) (L), a Hamilton (1805-1865) (H), a la acción (S)… En pocas palabras vemos la ecuación de Hamilton-Jacobi. Jacobi (1804-1851) cuyos trabajos son decisivos para la comprensión de los principios variacionales y mejoran mucho la utilización de acción, versión Hamilton.

El principio de mínima acción, cuya complicada historia llena de luces y de sombras es quizá una de las más bonitas de la física (alguien quizá piense que debería decir de la matemática), en definitiva consiste en encontrar las ecuaciones del movimiento minimizando la acción que se define en función del lagrangiano y de los puntos de partida y de llegada.

Para trabajar con este principio variacional, que resulta ser el principio variacional por excelencia, hay que expresar la acción  como función de las coordenadas y del tiempo. Por ejemplo, cuando se trabaja con un grado de libertad, se concreta de modo práctico en el cálculo del conjunto de trayectorias, de otra manera f(x, t), la función en el instante final, para unas condiciones iniciales fijas. Así es posible calcular cuantas trayectorias no interesen para comprender nuestro problema. Tratando la acción como función de las coordenadas y del tiempo, se encuentra la ecuación (*).

Esta ecuación, en derivadas parciales, no lineal y de primer orden, al igual que las ecuaciones de Lagrange-Euler, o que las ecuaciones canónicas, sirven para calcular el movimiento (y como de momento no hemos salido de la Mecánica Clásica) recuerdo al lector que seguimos tratando con las leyes de Newton. ¿Cómo elegir un formalismo u otro?, es una pregunta que espero del lector, la respuesta está en la práctica y en la comodidad y en la estructura matemática del problema. Un bonito problema con gran simetría o con una buena separación de variables siempre encontrará un buen aliado en la ecuación de Hamilton-Jacobi, pienso en el problema de Kepler en coordenadas esféricas.

Cada lector escoja su autor preferido, yo sigo recomendando siempre empezar por Feymann, pero no es óbice, hay muchos.

 

Emmy Noether

Un artículo muy breve reseñando la biografía de la mujer matemático más relevante del siglo xx Emmy Noether (1882-1935), esta reseña se queja, con razón seguramente, de que reducir la figura de  esta eminente científica a la de la madre del álgebra en el siglo pasado es acortar el tamaño de esta figura femenina imponente. Noether es mucho llegó mucho más lejos, y no hay por qué ser cicateros en la apreciación de su valía, además de injusto no lleva a ninguna parte. Quienes estamos, más o menos, familiarizados con algunas ramas de la física no olvidamos nunca su nombre. Como tampoco lo olvidan, supongo, quienes no dejan de pensar en sus grupos y en sus brillante visión matemática.

El pequeño paper firmado por Renate Tobies M BV Tent en Mathematical Intelligencer. El autor de la reseña empieza diciéndonos en este sentido que la biografía de Noether no resulta comprensiva pues seguramente no aborda suficientemente bien el amplio abanico científico en el que hizo notables aportaciones ella. Parece, eso sí, que se deleita el autor en recorrer el periplo vital de esta mujer inteligente, fuerte y de gran personalidad. Y todos o la mayoría de los adjetivos de poder que se pueden considerar atributos de esta dama de la ciencia se encuentran en la mayoría de las mujeres que han hecho algo destacable en el mundo científico, en épocas no tan lejanas. Ellas y lo simbolizo en estos renglones en la Noether son heroínas en el sentido de que para poder entablar relaciones de igualdad con sus colegas varones han  tenido que demostrar a perpetuidad sus valía, y revalidarla casi en cada actuación, ya que casi nunca se les ha otorgado la presunción de ella. Claro a los hombres grandes tampoco, siempre hay que serlo, pero una vez que se ha visto que lo eran y se han situado convenientemente, más bien tenían que demostrar lo contrario para ser destronados.

Esto no es la eterna queja femenina baladí, es un cruel reflejo de la condición femenina en ciencia o en cualquier actividad intelectual hasta hace dos días, y la mayor parte de ellas viviendo situaciones equívocas cuando rocambolescas y ridículas y renunciando a muchas más cosas que los varones. Por eso reseño aquí esta reseña.

No he leído el libro que da origen al comentario, así es que no quiero hablar más por boca de otra persona. Sí quiero homenajear a Noether, una vez más que nunca sobra. El libro se titula Emmy Noether: The Mother of Modern Algebra by M. B. W. Tent (2008), he perdido la referencia del número y el año de la reseña.

La ciencia de los “big data”

Hace ya varios años que está desarrollándose la idea de la sinergia entre grupos muy diferentes de trabajo científico, una especie de interrelación forzada y forzosa por el empeño y el interés no siempre de los científicos implicados, y a la postre en ocasiones el resultado es pobre en relación con la inversión, bonita excusa para los defensores de la muerte de la ciencia.

floresCamille_Pissarro_peonies

Este preámbulo breve, me lleva a otro tema que parece un poco afín, pero que no estoy segura que lo sea y que me interesa y es la reunión de disciplinas científicas más o menos tradicionales que conducen a la construcción de otras nuevas ciencias y en las que la matemática planea de manera indiscutible como un esqueleto que soporta el peso.

En Quanta Magazine he encontrado una colección de artículos variada e ilustrativa del tema que trata este breve, algunos tienen títulos ciertamente atractivos, otros no llaman singularmente la atención, sin embargo el contenido tiene un interés sustancial.

how the hell do you analyze that data? Me fijo en primer lugar en uno que se titula «The Mathematical Shape of Things to Come», en este artículo la  autora. How the hell do you analyze that data? que viene a ser  ¿y cómo demonios se analiza esto? La respuesta no es inmediata ni sencilla pero si se vislumbra que todavía hay mucho ruido, excesiva falta de estructura, pero bueno como superestructura es muy dinámica. Los físicos que dependiendo del tipo de datos que manejen puede saber el tipo de trabajo que se traen entre manos, en los sistemas biológicos que son más complejos y que abarcan mayor número de datos las dificultades crecen enormemente, el tratamiento de seguro habrá de tener otras características-

Otro título que ha llamado poderosamente mi atención y que presenta este resumen  es «A Digital Copy of the Universe, Encrypted»  relata el modo en que se están buscando nuevos métodos que elijan el tipo de datos directores descubrimientos en el trabajo con el Large Synoptic Survey Telescope (LSST) otro trabajo bonito y que se lee con gusto. Lo cierto es que a mí me parece que estos articúlos divulgativos son portadores de ideas y de conocimiento a la postre, lo cual tarde o temprano ayuda a formar opinión.

Quizá otro día me anime a más comentarios, me está apeteciendo

Universo cíclico

Tengo en mis manos un trabajo divulgativo sobre cosmología. Por esas cosas rocambolescas relacionadas con la cultura libresca en unos lugares y en otros por los que deambulo, lo leo en italiano, que es no es su lengua original como no lo es la mía. Endless Universe. Beyond the Big Bang by Paul J. Steinhardt and Neil Turok, la versión italiana es fidedigna en la primera parte del título al menos, a la versión original “Universo senza fine”.  Trabajo interesante este para adentrarse someramente y también superficialmente, no hay que engañarse, en la especulación cosmológica. Me gusta que se cuestiona el Big Bang, que empezaba a pensar que en la calle se tiene como el nuevo Génesis.

Está bien escrito, con gracia, mantiene el interés que desde luego capta desde la primera página al lector. No es un ensayo, parece más bien una novela de misterio o de ciencia ficción por el estilo narrativo que adopta. Sin embargo introduce algunos conceptos, aunque solo sea de nombre, que pueden hacer pensar a un lector dado a estas especulaciones muy teóricas, llenas de anhelos, sueños, mezclados con algunas dosis de conocimiento científico, especulaciones teóricas, creencias y otros elementos propios del conocimiento humano.

Quien tenga tiempo, sin embargo no pueda, ni quiera, profundizar demasiado, quien quiera leer sobre cosas distintas y algo originales acerca del universo puede aproximarse a ameno librito, muy bien cuidado en la redacción, en el estilo y en la tensión narrativa, con aportaciones interesantes.

La obra se estructura en once capítulos, y va desde las partículas hasta un modelo cíclico del universo que contrapone razonable y coherentemente con el universo inflacionario derivado del Big Bang. Pasa naturalemente y muy explicativamente por la teoría de cuerdas. El último capítulo “Regreso al futuro” tan cinematográfico y visual como el primero “2001”, cierra el ciclo de este volumen, al que no falta un rico glosario, un índice analítico y en fin los anexos finales comunes.

“La historia de nuestro cosmos se puede representar como una repetición de ciclos evolutivos. Cada ciclo comienza con una explosión, pero esta no constituye el inicio del espacio o del tiempo. Más bien es un suceso con un principio y un fin, que se puede describir con las leyes de la física” […]

(Mi traducción)

Edición il Saggiatores Tascabile Milán 2010

Algunas consideraciones sobre la dinámica y las ecuaciones en que se escribe

Un artículo histórico, donde el protagonista es la dinámica en el sentido dinámico o evolutivo del concepto, hablar de dinámica física es lo mismo que referirse a las ecuaciones en las que se elabora el discurso de esta disciplina, las ecuaciones con las que construimos o inventamos o reinventamos o cambiamos la dinámica.

Paul Apell (1855-1930), amigo de Poincaré y de Picard, escribe esta interesante reflexión, que es a la vez estudio un estudio general y trabajo profundo que titula Sur une forme général des équations de la dynamique aparecido en 1925 en la revista “Mémorial des sciences mathématiques”

Una idea alrededor de  la que gravita un poco el espíritu del artículo es que la matemática no se debe limitar a ser un buen proveedor de fórmulas a la física. Adelanta, el matemático, en las primeras páginas que algunos de los hacedores de física aplican las ecuaciones sobre las que escribirá en las siguientes páginas (algo más de 50) a diversas teorías físicas. Yo estoy casi de acuerdo con Apell en el estar de acuerdo con Mach en que no existe un solo fenómenos puramente mecánico sino que todos los fenómenos pertenecen a varias  ramas o a todas las ramas de la física. Apelle, no obstante sin solución de continuidad afirma que la idea de considerar la mecánica como la rama en la cual se basan todas las demás es un prejuicio, no obstante que nos resulte interesante explicar mecánicamente el mayor número posible de fenómenos físicos…

Otro punto de partida en el arranque de la discusión del artículo es la evolución del concepto dinámica en sí mismo desde el origen clásico del término en el que cuentan claro Galileo y Newton en el cual el concepto de inercia cuenta mucho, cómo podría considerarse la idea de inercia en la nueva dinámica, cómo encajar este concepto tan pegado a la concepción clásica de la naturaleza a una nueva dinámica con el inconveniente de velocidad de la luz (esta duda, más o menos, la expresa Poincaré en ‘El valor de la ciencia’).

Enseguida aparece el principio de mínima acción, que tras haber renacido y muerto varias veces a lo largo de la historia de la ciencia, parece gozar de una salud excelente, como suele suceder siempre a quienes o los que se retiran en el momento adecuado.

Me parece una lectura muy interesante y recomendable para quienes se empeñan en entender bien a conciencia las relaciones entre la física y la matemática. Dejo la pista, y animo a buscar en Numdam hay tanto…

Nuevos materiales. Propiedades físicas asociadas a cuestiones topológicas

Leyendo algunos artículos sobres nuevos materiales en algunas revistas como Nature, Science… siento siempre la inclinación de bucear en el fondo del océano de estas investigaciones para ver hasta dónde llego, entender lo que están haciendo en ese campo quienes invierten horas, trabajo, talento y disgustos… en definitiva los investigadores y sus logros, esto que pueden alimentar mi imaginación creativa y mi intuición. Busco relaciones con cosas que sé o con con cosas que podría llegar a saber porque quizá no me caen tan lejanas (o tal vez sí me resultan ajenas, pero me atraen lo suficiente como para desear acercarme a ellas).

Para escribir esta nota me baso en la lectura más o menos simultánea de varios trabajos, uno de ellos New states of matter suggested by new topological structures by Nils A. Baas podría servir de referencia para alguien interesado en profundizar, mi comentario aquí no se basa exclusivamente en este artículo, que ya reseñé entre los básicos, sino que se alimenta en con algunas lecturas no continuada del temas, borradores, notas de trabajo, and so on… además se enriquece de  conversaciones reales y virtuales con personas en sus grupos de trabajos, una miscelánea sin muchas pretensiones más allá que la de mostrar una visión del mundo con muchas posibilidades de desarrollo, y de proyección en el conocimiento del universo.

Intuyo el desarrollo de los nuevos materiales como fuente de comprensión física general, no veo la materia oscura que es demasiado oscura para mí intuición y me recuerda tantísimo y en tantas cosas a los fluidos imponderables, salvando las distancias conceptuales, de estado general de los conocimientos y de esquema ambiental científico.

Un aislante topológico, un material con propiedades físicas asociadas a la porción de él que se considere, propiedades locales asociadas a la disposición a la relación entre los elementos que la constituyen (no me refiero a diferente composición en sentido químico) tampoco quiero expresar que se trata de un asunto geométrico, de un asunto de forma, es más bien un asunto de relaciones métricas, un asunto topológico.  Se trata pues de un material en volumen prácticamente hueco, en su superficie (o linealmente) materialmente ocupado, descritos en superficie por la ecuación de Dirac (sin masa) en una o dos dimensiones. Los electrones con un fuerte acoplamiento spin-órbita, en el cual las direcciones del momento angular de spin y momento lineal están ligados unos a otros, ambos en el mismo plano y perpendiculares entre sí.

Vislumbro una fascinante nueva manera de mirar el mundo, que no es unívoco

Ánimo al lector a asomarse a su orilla

Gravedad cuántica, un problema estructural de la física, por ahora…

El profesor Strominger en el frontispicio de su pensamiento enuncia en numerosas ocasiones que la contradicción lidera el
avance del conocimiento y en general a continuación muestra ejemplos interesantes de lo que constituyen aspectos cruciales de sus razonamientos, demostraciones y concepciones científicas y posiblemente está en el espíritu de su programa de investigación. Algunas de sus conferencias de divulgación ponen de manifiesto de manera muy didáctica y muy amena algunas de sus ideas en esta dirección. Adentrarse en sus artículos de investigación acerca a la hondura de las tesis que defiende en su tarea teórica y eso también lo lleva a cabo sin perder el sentido del humor que caracteriza sus presentaciones públicas. Un tipo serio, que se presenta de manera desconcertante como socarrón y divertido, como si lo que cuenta fuese cosa de poco y casi improvisada, a ello ayuda sus esquemas y dibujos manuscritos, en la época de los teclados y los programas de dibujo; y sin embargo, la enjundia de la información que transmite da para mucha reflexión y produce muchas ideas que emergen naturalmente de quien las estudia, casi como si no hubiera nada ni nadie detrás… falsa impresión, no conviene dejarse deslumbrar ni caer en la autocomplacencia, detrás hay trabajo arduo.

El problema al intentar conjugar el principio de incertidumbre (fundamento de la mecánica cuántica) con el espacio tiempo curvado de la teoría de la relatividad einsteniana (o de otra manera el asunto de la gravedad) es que no conduce a ningún sitio, carece de sentido por inconsistente y por las muchas concepciones que genera insostenibles con la realidad. El problema conceptual que conduce a inconsistencias matemáticas, y estas a paradojas físicas. La teoría cuántica de campos es muy ajustada para explicar la fuerza fuerte, la débil y la electromagnética, pero falla con la gravitación.

El profesor Strominger conduce nuestra mirada hacia los agujeros negros como camino a seguir. El lector debe retomar la termodinámica, empaparse de Boltzman, embarcarse en el dominio de todos los resortes de la entropía  y no olvidarse jamas de la dinámica einsteniana, prepárese a adentrarse en un mundo fascinante por el conocimiento que se presenta en el ‘horizonte’ (de sucesos…), no es baladí, ni cosa de poco, hay que elegirlo con dedicación y compromiso. Examinarlo desde fuera puede llevar a situaciones erróneas de falsa comprensión de las cosas. Tiempo, es necesario, disponer de tiempo, entrar y salir rápidamente, en este caso es inútil.

Por citar un ejemplo entre muchos Five Problems in Quantum Gravity by Andrew Strominger, volveré sobre ello, eso creo.