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Algunas consideraciones sobre la dinámica y las ecuaciones en que se escribe

Un artículo histórico, donde el protagonista es la dinámica en el sentido dinámico o evolutivo del concepto, hablar de dinámica física es lo mismo que referirse a las ecuaciones en las que se elabora el discurso de esta disciplina, las ecuaciones con las que construimos o inventamos o reinventamos o cambiamos la dinámica.

Paul Apell (1855-1930), amigo de Poincaré y de Picard, escribe esta interesante reflexión, que es a la vez estudio un estudio general y trabajo profundo que titula Sur une forme général des équations de la dynamique aparecido en 1925 en la revista “Mémorial des sciences mathématiques”

Una idea alrededor de  la que gravita un poco el espíritu del artículo es que la matemática no se debe limitar a ser un buen proveedor de fórmulas a la física. Adelanta, el matemático, en las primeras páginas que algunos de los hacedores de física aplican las ecuaciones sobre las que escribirá en las siguientes páginas (algo más de 50) a diversas teorías físicas. Yo estoy casi de acuerdo con Apell en el estar de acuerdo con Mach en que no existe un solo fenómenos puramente mecánico sino que todos los fenómenos pertenecen a varias  ramas o a todas las ramas de la física. Apelle, no obstante sin solución de continuidad afirma que la idea de considerar la mecánica como la rama en la cual se basan todas las demás es un prejuicio, no obstante que nos resulte interesante explicar mecánicamente el mayor número posible de fenómenos físicos…

Otro punto de partida en el arranque de la discusión del artículo es la evolución del concepto dinámica en sí mismo desde el origen clásico del término en el que cuentan claro Galileo y Newton en el cual el concepto de inercia cuenta mucho, cómo podría considerarse la idea de inercia en la nueva dinámica, cómo encajar este concepto tan pegado a la concepción clásica de la naturaleza a una nueva dinámica con el inconveniente de velocidad de la luz (esta duda, más o menos, la expresa Poincaré en ‘El valor de la ciencia’).

Enseguida aparece el principio de mínima acción, que tras haber renacido y muerto varias veces a lo largo de la historia de la ciencia, parece gozar de una salud excelente, como suele suceder siempre a quienes o los que se retiran en el momento adecuado.

Me parece una lectura muy interesante y recomendable para quienes se empeñan en entender bien a conciencia las relaciones entre la física y la matemática. Dejo la pista, y animo a buscar en Numdam hay tanto…

Nuevos materiales. Propiedades físicas asociadas a cuestiones topológicas

Leyendo algunos artículos sobres nuevos materiales en algunas revistas como Nature, Science… siento siempre la inclinación de bucear en el fondo del océano de estas investigaciones para ver hasta dónde llego, entender lo que están haciendo en ese campo quienes invierten horas, trabajo, talento y disgustos… en definitiva los investigadores y sus logros, esto que pueden alimentar mi imaginación creativa y mi intuición. Busco relaciones con cosas que sé o con con cosas que podría llegar a saber porque quizá no me caen tan lejanas (o tal vez sí me resultan ajenas, pero me atraen lo suficiente como para desear acercarme a ellas).

Para escribir esta nota me baso en la lectura más o menos simultánea de varios trabajos, uno de ellos New states of matter suggested by new topological structures by Nils A. Baas podría servir de referencia para alguien interesado en profundizar, mi comentario aquí no se basa exclusivamente en este artículo, que ya reseñé entre los básicos, sino que se alimenta en con algunas lecturas no continuada del temas, borradores, notas de trabajo, and so on… además se enriquece de  conversaciones reales y virtuales con personas en sus grupos de trabajos, una miscelánea sin muchas pretensiones más allá que la de mostrar una visión del mundo con muchas posibilidades de desarrollo, y de proyección en el conocimiento del universo.

Intuyo el desarrollo de los nuevos materiales como fuente de comprensión física general, no veo la materia oscura que es demasiado oscura para mí intuición y me recuerda tantísimo y en tantas cosas a los fluidos imponderables, salvando las distancias conceptuales, de estado general de los conocimientos y de esquema ambiental científico.

Un aislante topológico, un material con propiedades físicas asociadas a la porción de él que se considere, propiedades locales asociadas a la disposición a la relación entre los elementos que la constituyen (no me refiero a diferente composición en sentido químico) tampoco quiero expresar que se trata de un asunto geométrico, de un asunto de forma, es más bien un asunto de relaciones métricas, un asunto topológico.  Se trata pues de un material en volumen prácticamente hueco, en su superficie (o linealmente) materialmente ocupado, descritos en superficie por la ecuación de Dirac (sin masa) en una o dos dimensiones. Los electrones con un fuerte acoplamiento spin-órbita, en el cual las direcciones del momento angular de spin y momento lineal están ligados unos a otros, ambos en el mismo plano y perpendiculares entre sí.

Vislumbro una fascinante nueva manera de mirar el mundo, que no es unívoco

Ánimo al lector a asomarse a su orilla

Gravedad cuántica, un problema estructural de la física, por ahora…

El profesor Strominger en el frontispicio de su pensamiento enuncia en numerosas ocasiones que la contradicción lidera el
avance del conocimiento y en general a continuación muestra ejemplos interesantes de lo que constituyen aspectos cruciales de sus razonamientos, demostraciones y concepciones científicas y posiblemente está en el espíritu de su programa de investigación. Algunas de sus conferencias de divulgación ponen de manifiesto de manera muy didáctica y muy amena algunas de sus ideas en esta dirección. Adentrarse en sus artículos de investigación acerca a la hondura de las tesis que defiende en su tarea teórica y eso también lo lleva a cabo sin perder el sentido del humor que caracteriza sus presentaciones públicas. Un tipo serio, que se presenta de manera desconcertante como socarrón y divertido, como si lo que cuenta fuese cosa de poco y casi improvisada, a ello ayuda sus esquemas y dibujos manuscritos, en la época de los teclados y los programas de dibujo; y sin embargo, la enjundia de la información que transmite da para mucha reflexión y produce muchas ideas que emergen naturalmente de quien las estudia, casi como si no hubiera nada ni nadie detrás… falsa impresión, no conviene dejarse deslumbrar ni caer en la autocomplacencia, detrás hay trabajo arduo.

El problema al intentar conjugar el principio de incertidumbre (fundamento de la mecánica cuántica) con el espacio tiempo curvado de la teoría de la relatividad einsteniana (o de otra manera el asunto de la gravedad) es que no conduce a ningún sitio, carece de sentido por inconsistente y por las muchas concepciones que genera insostenibles con la realidad. El problema conceptual que conduce a inconsistencias matemáticas, y estas a paradojas físicas. La teoría cuántica de campos es muy ajustada para explicar la fuerza fuerte, la débil y la electromagnética, pero falla con la gravitación.

El profesor Strominger conduce nuestra mirada hacia los agujeros negros como camino a seguir. El lector debe retomar la termodinámica, empaparse de Boltzman, embarcarse en el dominio de todos los resortes de la entropía  y no olvidarse jamas de la dinámica einsteniana, prepárese a adentrarse en un mundo fascinante por el conocimiento que se presenta en el ‘horizonte’ (de sucesos…), no es baladí, ni cosa de poco, hay que elegirlo con dedicación y compromiso. Examinarlo desde fuera puede llevar a situaciones erróneas de falsa comprensión de las cosas. Tiempo, es necesario, disponer de tiempo, entrar y salir rápidamente, en este caso es inútil.

Por citar un ejemplo entre muchos Five Problems in Quantum Gravity by Andrew Strominger, volveré sobre ello, eso creo.

“Geometría y luz: la ciencia de la invisibilidad”

Geometry and Light: The Science of invisibility by Ulf Leonhardt and Thomas Philbin. Supe de este libro, cuyo título me he permitido traducir, a través de la Royal Society y en seguida pensé en que tenía que hacerlo llegar a lectores entusiastas de las artes asociadas a las propiedades físicas de las cosas. Hasta donde yo sé no existe una traducción al español, como en tantos otros textos que valdría la pena, pero no no hay que perder el ánimo, al mismo tiempo es bastante razonable suponer que los lectores interesados en estos asuntos, conocen lo suficiente, al menos, la lengua del irlandés Oscar Wilde. 

Leonhardt es un joven científico que responde con simpatía y gracia a algunas preguntas que se le hacen en relación con su actividad y sus intereses científicos. Copio literalmente una de las preguntas y la respuesta porque me gusta, pero hay otras

[…] What advice would you give a school child who is interested in science?

Be curious, ask questions and insist on understanding the explanations given to you. Every person has a natural curiosity about the world, so I would try to appeal to curiosity and imagination for showing how interesting the science I love is. […]

La respuesta es alegre y jovial, como el libro, sin embargo es seria y realista, como el libro, aunque llena de imaginación y pasión, como el libro, me parece un buen consejo.

Conceptualmente no es un volumen sencillo, se recogen en él, dos grandes y complejas teorías físicas: Los principios de Maxwell del electromagnetismo y la teoría de la relatividad general de Einstein. Los trabajos serios de los dos autores para intentar transformar la ciencia ficción en investigación física, dan la impresión al narrarlos que son divertidos, y posiblemente como toda actividad hecha con primor, interés, mimo y pasión lo sean, pero también seguramente muy arduos, desalentadores, y duros. Supongo que las ganas de tirar la toalla a veces aparecen, aunque desconozco si este es el caso. No es un libro de divulgación porque requiere un nivel de conocimientos algo superior al de la cultura general, posiblemente lo más adecuado es ser graduado en alguna materia científica de tipo física o ingeniería.

El libro reza que es dos libros en uno, y algo de verdad contiene esta afirmación. Me alegro de que haya llegado a  mí, para iluminarme un poco en la invisibilidad general. No es un libro fácil, pero quién dijo que lo que vale pena ha de ser fácil.

Dover, 201o

El caso Kovalevskaya

Sofía Kovalevskaya (1850-1891)  -la transcripción del nombre supongo que deja mucho que desear- es una mujer prototipo en la historia de las ciencias duras, mujer matemático, que tuvo que realizar toda suerte de artimañas a su alcance para salir adelante y sobresalir en un mundo de hombres en un tiempo de hombres. Con un talento por encima, muy por encima, de la mayoría de los varones contemporáneos, su historia es tan rocambolesca que parece propia de una película de acción, de acción intelectual, con bodas amañadas por conveniencia, para poder salir adelante y con belleza, amor verdadero, amistad… una vida interesante y llena de emociones, posiblemente, tan llena también de conocimiento de pensamiento hermoso, que también hay que reconocer algunos de los más grandes supieron reconocer y encontrar, no hay que olvidar la importancia en su vida que tuvo su maestro Weierstrass o Mittag-Leffler grandes matemáticos.

Recojo el título de esta nota de un artículo “Le Cas de Sophie Kovalesvskaya” par Jean-François Peyret para el festival de Avignon de 2005.

[…]The title of the play sets up these multiple views: The Case of Sofia  K. refers of course to the mathematical problem, that builds on earlier work of Euler and Lagrange, in which a system of differential equations is solved in closed form by means of elliptic functions.[…]

La reseña de la obra teatral a la que me estoy refiriendo se debe a Alain Juhel y en ella se hace una buena selección de citas alusivas a la personalidad, al trabajo y a la singular vida de esta dama de las matemáticas. Salen a relucir sistemas dinámicos, el célebre y complejo problema de los tres cuerpos y algunos de aquellos asuntos matemáticos relevantes en los que esta mujer participó. Las referencias biográficas que cita las desconozco pero no deben ser de interés escaso por lo que he podido ver.

El artículo con ser pequeño resulta sustancioso y sobre todo da muchas pistas en las que leer acerca de esta eminente persona quien desee estar informado sobre las cuestiones en las que aportó algo, en las que tenía que decir cosas, que por otra parte son tan actuales lea como primer paso este pequeño artículo de la revista The Mathematical Intelligencer, creo, aunque no recuerdo bien.

Movimiento en espacios curvos

Dos magnitudes físicas que no tienen ninguna relación entre sí a priori son estrictamente proporcionales la una a la otra, son como ya está viendo venir el lector las dos acepciones de la voz masa. La observación de esta magnífica igualdad configura el basamento sobre el que se conforma la teoría de la relatividad einsteniana.

La masa de la física clásica, la que usamos a diario en nuestros quehaceres, es una medida de la resistencia a la aceleración de un cuerpo, lo cual se corresponde con el estricto cumplimiento de las leyes de la dinámica, es el coeficiente de inercia. La otra idea de masa proviene del concepto de acoplamiento a un campo gravitatorio. ¿Por qué  estos dos entes son iguales? No parece haber ninguna razón de inicio -sobre todo si se piensa en términos de analogía con el campo electromagnético en el cual el movimiento de una partícula cargada definido por dos parámetros el coeficiente de inercia y el coeficiente de acoplamiento que son distintos (léase la masa y la carga)-.

El peculiaridad gravitacional hace que la masa pesante y la masa inercial desaparezcan de las ecuaciones del movimiento. De otro modo, dos cuerpos están dotados del mismo movimiento bajo las mismas condiciones iniciales, cualquiera que sea su masa.

La constatación de la importancia de este hecho es relativamente reciente. Sin embargo a los ojos relativistas, esta idea se torna natural si cambiamos de posición para mirarla, esto es, si en lugar de pensar en términos de campo gravitacional, lo hacemos en términos de espacios curvos, con más precisión, de espacio-tiempo curvo, así se pasa de conceptualizar a partir de un campo de gravedades a hacerlo desde un movimiento libre.

Aquí constatamos dos bellezas la del pensamiento hondo y la de los conceptos preciosos y precisos. La historia contada por Einstein sobre sus aventuras mentales, sus reflexiones y trabajos sobre cómo combinar la gravitación universal con la relatividad, a estas alturas no supone ninguna sorpresa para nadie constatar que tuvo la idea más feliz de su vida en esos momentos, “glücklichster Gedanke meins leben”. Sus meditaciones, cuenta en la descripción, se refieren al sentimiento de una persona cayendo de un tejado. Para un observador así, no existe campo gravitatorio, si soltase el contenido de sus bolsillos no caerían, permanecerían en reposo o en movimiento uniforme.

Un campo gravitatorio así localmente visto resulta durante un tiempo pequeño idéntico a un movimiento respecto a un referencial inercial…

Animo al lector a adentrarse por este camino, en otra ocasión más…

Un tema matemático bonito (X): el teorema de Liouville

De los varios teoremas importantes debidos a Liouville (1809-1882) aquí quiero destacar el que conocen todos los que se interesan por  los sistemas dinámicos, la mecánica celeste y la estética estructural de los conceptos que involucran. Una manera de enunciar este teorema muy matemática, pero al mismo tiempo muy visual para la física es la siguiente:

Un volumen del espacio de fases permanece invariable durante la evolución hamiltoniana del sistema.

Esta propiedad geométrica deriva de las estructuras de las ecuaciones de Hamilton, pero sin embargo no depende de la particular forma que tenga el hamiltoniano en cada caso. La evolución en el espacio de fases [ xi, pi ] es una representación geométrica especialmente útil en mecánica. Cada estado del sistema se corresponde con un punto en el espacio de fases, de otra manera la evolución del sistema hace que el punto se desplace en el espacio de fases.

La función de Hamilton H(x, p) que está definida en el espacio de fases que es una propiedad geométrica también muy valiosa, si se define un campo de vectores (piense el lector en las coordenadas conjugadas), se define el flujo de este  campo de vectores, como el conjunto de las curvas cuya tangente en cada punto es colineal al vector en ese punto.

Paulatinamente el lector que efectúa estudiosamente se decide a entender las posibilidades que este teorema encierra va caminando paso a paso desde la mecánica analítica hacia la mecánica cuántica con una guía adecuada y un no desdeñable pero entrañable esfuerzo se encuentra camino de la mano de la matemática de la una a la otra. Es una grata coincidencia la asombrosa analogía que se puede vislumbrar entre la estructura de la mecánica analítica y la estructura de la mecánica cuántica.

El teorema de Ehrenfest podría servir de comentario o de teorema de paso entre ambos mundos, es una especie de ventana que se abre y permite el paso de un paisaje a otro, es atravesar el umbral de un mundo a otro. Y en ese borde maravilloso, en ese atravesar el espejo me quedo a reflexionar, hay otros ejemplos similares, ojalá el lector recoja la belleza que de este modo se entrevé…

 

Avances y conjeturas acerca de los espacios De Sitter

El universo en expansión según las predicciones de la teoría de la relatividad general de Einstein (1879-1955) recibe el nombre técnico de espacio de Sitter (1872-1934); de otra manera, unas soluciones exactas de las ecuaciones de campo einstenianas que se traducen en expansión se conocen entre los expertos con estas siglas DS.

Recientemente he tenido ocasión de leer un artículo muy interesante, que es un estudio cosmológico centrado en la teoría de cuerdas que gira alrededor de estas ideas que van y vienen desde que se formularon por vez primera, y que han madurando y creciendo desde su primera expresión con la aportación de los estudiosos del tema y el soporte inestimable de los nuevos conocimientos tecnológicos. Los autores hacen un trabajo físico matemático, y describen inicialmente el marco general de su estudio considerando un espacio-tiempo De Sitter dotado de un observatorio eterno (la idea inicial es preciosa), matemática lo formulan como un DS considerado en un futuro asintóticamente. En esta situación, la descripción clásica de la métrica asociada en la frontera conlleva la deformación asociada al flujo de la radiación gravitacional.

Para superar esta condición, los investigadores proponen un futuro no convencional, en el sentido anteriormente descrito, con una condición Dirichlet (1805-1859) en la frontera, que con otra métrica resulta violar el principio convencional de causalidad, aunque según los autores estas violaciones no se detectan en los experimentos realizados en el observatorio eterno (como metafísica sigue siendo fantástico).

Como punto de partida atrayente no tiene desperdicio, el artículo es largo y está lleno de recovecos conceptuales que no son asequibles para la mayoría de los no expertos. Para entenderlo de verdad hay que manejarse bien con tensores y métrica conforme, estar familiarizado con la métrica lorentziana, del espacio-tiempo, con la esfera de Riemann y en definitiva estar en grado de leer documentos matemáticos no   fáciles.

Las conclusiones lejos de ser cosa de poco invitan a seguir por el camino de los nuevos paradigmas cosmológicos y modelísticos que se empezaron a forjar el siglo pasado, pero que aún permanecen en mantillas deseosos de ser utilizados.

Mi idea con esta reseña es involucrar a los interesados en el acercamiento a las teorías cosmológicas en estudio en la actualidad referenciándolas con los estudios inciados en la teoría de la relatividad.

Future Boundary Conditions in De Sitter Space by Dionysios Anninos, Gim Seng Ng and Andrew Strominger

Un breve sobre computación

La revolución computacional por ponerle un nombre de cambio social similar a la revolución industrial tiene consecuencias impredecibles y muchas me gustan. Me gustan de presente y de imaginar el futuro.

mujer dibujo 11

Los sistemas físicos programados para calcular, simular y efectuar trabajos no son ‘perfectos’; de otra manera: los ordenadores cometen errores. La combinación de modelización y simulación con la inestimable ayuda, en todas las etapas del proceso, de las matemáticas producen gran cantidad de información de interés en campos muy dispersos al menos aparentemente. Los algoritmos rápidos útiles para computación son valiosísimos para calcular toda suerte de valores importantes para asuntos de interés a los humanos. Sin embargo, los resultados no son perfectos y los errores de cada paso se van acumulando hasta el final del cálculo lo cual significa que hay que tener mucho cuidado de este resultado siempre, pero dependiendo del asunto mucho más que mucho cuidado.

El asunto es fácilmente comprobable sin ser ingeniero o científico, cualquier no experto que es usuario ha notado alguna vez la discrepancia entre máquinas al leer un documento, pero claro en ocasiones estas minucias pueden encubrir problemas que es preciso solventar. Para la vida cotidiana afectan asuntos relacionados con la meteorología, sobre todo en aquellas regiones con climas más o menos extremos, todo el mundo está pendiente de las predicciones, y se molesta con los pequeños errores en su región, pero hay errores o acumulaciones de errores computacionales más llamativos como los que se han producido con misiles en la guerra del golfo o en la célebre explosión del Ariane 5.

La idea que subyace en esta breve nota es que los ordenadores en los cuales sustentamos gran parte de nuestra actividad cotidiana son sistemas físicos y conviene no cargar toda la responsabilidad de sus ‘deficiencias’  a cuestiones fortuitas, que es un error de desconocimiento. Disfrutemos de las enormes ventajas de estos más que instrumentos y herramientas, estudiémoslo con alegría y ahínco pero sin olvidarnos de dónde estamos.

Existen gran variedad de lecturas sobre ordenadores, un ejemplo “Arithmétique des ordinateurs et preuves formelles”. Invito a la reflexión.

Sistemas mesoscópicos

La frontera entre el mundo clásico y el cuántico es un campo muy fructífero de estudio e investigación en la físico-matemática actual. La interfaz entre ambas disciplinas aquí se diluye, los lenguajes se entremezclan y se combinan, los intereses se transfieren de unos a otros. El objeto de nuestro estudio nos torna indistinguibles, estamos ante un nuevo nacimiento de ‘la’ ciencia moderna. 

En este desarrollo científico que se está produciendo la idea de simetría (de nuevo) cobra una fuerza especial porque parece ser la que ‘pone orden’ en este mundo emergente.

En la frontera entre el mundo clásico y el cuántico viven los sistemas mesoscópicos cuyas propiedades  de transporte y de espectro se rigen por leyes matemáticas asociadas a la simetría, y es en el mundo de la simetría donde se buscan los objetos matemáticos que definen, describen y escriben estos sistemas de cuyo interés tecnológico para la construcción de dispositivos electrónicos nanométricos se tenía amplia constancia, y que además se muestra como  fascinante fuente de conocimiento y creación en la ciencia básica. La gran variedad de fenómenos que originan son una mina rica de ideas para la creación científica.

Los objetos matemáticos asociados son espacios simétricos (compactos y no compactos) cuya geometría y análisis están desarrollando equipos de investigación matemáticos, la teoría de campos las supervariedades diferenciables y todo el utillaje matemático exploratorio está en marcha y en funcionamiento. En cuanto a las ideas y estructuras fijas con las que se conectan, estas investigaciones se mueven en el mundo de  las dimensiones de la ‘coherencia’ de la fase electrónica, en el mundo cuántico donde la coherencia no se ha perdido por efectos térmicos y disipación, la estabilidad estructural está garantizada en esta escala por el caos clásico.

Los sistemas bosónicos y fermiónicos son un excitante reclamo exploratorio en el ámbito de los sistemas mesoscópicos y quizá permitan encontrar los mecanismos subyacentes que gobiernan las leyes universales que los rigen.

He leído varias cosas y estoy en ello de este tema, no es esta nota la referencia de ninguna en concreta, solo pretende ser una llamada de atención al lector sobre un mundo maravilloso que está en este mundo, puedo citar por animarme tibiamente a  alguno, aunque seguro no es el más cercano al tema Stability and instability results in a model of Fermi acceleration by Jacopo de Simoi.

Busque el lector cuanta literatura al respecto dispersa  ya hay y adéntrese en este mundo.

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