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Category Archives: Acontecimientos de la física y la matemática

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El atractor de Lorenz: objetos matemáticos bonitos (XII)

El efecto mariposa es uno de los ‘motivos’ meteorológicos más nombrados por la generalidad de la gente. Otra cosa es la cantidad de conocimiento científico que conlleva y la importancia como ejemplificación popularizada de un asunto de trascendencia científica. El atractor de Lorenz (1917-2008) que fue descubierto en 1963 a partir de un modelo matemático de la atmósfera, popularizó la idea de caos. Las variables que intervienen son la distribución de la temperatura en vertical, z, la distribución de temperatura en horizontal, y, y el flujo convectivo de la atmósfera, x. La evolución de estas tres variables viene descrita por un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal. La resolución de este sistema de ecuaciones mediante un ordenador, por métodos usuales de pasos discretos (lo que suponía en su tiempo un gasto de papel extraordinario). Un día tuvo la idea de reiniciar sus cálculos no en el punto en el que los había dejado el día anterior, sino en un punto intermedio de los que había obtenido en su cálculo. Y la sorpresa llegó al comprobar que tras un número relativamente pequeño de iteraciones los valores que obtenía en totalmente diferentes de los que había obtenido la víspera.

La sensibilidad de los resultados a las condiciones iniciales provoca el mismo tipo de brecha de soluciones inicialmente próximas, a esto lo llamó Lorenz el efecto mariposa. Y tituló  una de sus conferencias algo así como ¿El batir de un ala de mariposa en Brasil puede desencadenar un tornado en Texas? Como el lector habrá observado el atractor de Lorenz tiene forma de mariposa, más o menos.

No entro a detallar la física del problema ni tampoco la parte matemática correspondiente al estudio de los sistemas dinámicos, la noción de atractor y los conceptos asociados a la idea de caos prefiero irlos contando en otras ocasiones si es menester, aunque posiblemente sería mucho más eficaz que el lector reflexionase sobre ellas, estudiara un poco, para realmente intentar entender algo.

Con esta nota solo pretendo una vez más destacar, la hermosa relación entre la física y la matemática, las historias bonitas que se pueden narrar y construir con este utillaje y poner en alerta al lector: no por popular un concepto es fácil y mucho menos bien comprendido, hay que ir más allá. Ánimo.

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Campos cuánticos & sistemas dinámicos

Las fronteras de la física constituyen algunos de los principales problemas de los que se ocupa la investigación física contemporánea y en los que es más activa su interacción con la matemática. Incluso en aquellos casos en que el estado fundamental es bien conocido, se está en una etapa inicial de la comprensión de su dinámica. El estudio de los sistemas mesoscópicos, los conceptos (la mayoría nuevos en la física y la matemática) que están emergiendo en esta frontera es la característica de los estudios de la física de las fronteras entre los mundos de las tres escalas. Problemas de frontera. Matemáticas de frontera.

Wikipedia

Para estudiar estos sistemas los investigadores emplean sistematizaciones estándar que consisten en la comprensión de las interacciones entre partículas, los procesos estudiados incluyen: el control de las back-reaction de las fluctuaciones cuánticas en el campo medio, la dinámica de la decoherencia, el equilibrado y la moderación (o termalización) del sistema a partir del estado fundamental (de equilibrio térmico). Se estudia la interacción entre la dinámica y la moderación por medio de partículas fermiónicas en las redes ópticas en las cuales la ruptura de la hidrodinámica se describe por ecuaciones de difusión.

En algunos sistemas mesoscópicos los grados de libertad mecánicos están acoplados a variables electrónicas rápidas; este proceso tiene lugar al atravesar un flujo de corriente eléctrica a través del sistema, esto origina diferentes tipos de fuerzas actuando en variables colectivas. Se producen fuerzas derivadas de corrientes inducidas, fenómenos de transporte, transferencia de magnitudes como momento angular y de spin, magnetizaciones y algunos fenómenos cuánticos complejos y estudio delicado.

Los modelos que se están desarrollando permiten avanzar en la elaboración del conocimiento de esta frontera de investigación de última generación en ciencia básica.

Desconozco que haya divulgación asequible de este campo, porque además está en un proceso inicial de estudio y de elaboración, pero mi intención al escribir este tipo de notas, es mantener fresca la idea de que la ciencia básica en lo que se refiere a la gran física y la gran matemática está en plena ebullición creativa. Anímese el lector, la ciencia física es joven y está muy viva.

Spheres and Black Holes

No es la primera vez que cuento aquí que la física está en un momento álgido, nada más lejos del fin o del sueño pasivo. Muchos frentes se abren, nuevas visiones del mundo nos cercan y casi nos diluimos como hacen los artistas en su arte en nuestro universo. Nuestro nuevo y precioso universo mirado a través de otras ciencias, a través de otras posiciones, con nuevos materiales, mediante técnicas novedosas, con alegría, con gracia con estudio y esfuerzo, con estudio, con miradas, vaya con cosas bonitas de esas que suelo contar por aquí, para que el lector no se olvide de mirarlas,  de sosegarse con ellas y a su través.  Leí recientemente Black Holes as Incompressible Fluids on the Sphere, los agujeros que posiblemente nos deparen singulares sorpresas en el avance del conocimiento  y que quizá sirvan de modelo en estas décadas de estructuras variadas en los campos de acción que tanto me gustan está escrito el trabajo por los investigadores I. Bredberg and A. Strominger.

Como se trata de un trabajo de investigación, supongo que no debo recomendarlo a cualquier lector para no desanimarle. Si bien, no entender algo no es óbice para no leerlo, quién sabe dónde podemos llegar aún si estamos moviéndonos en la ‘esfera’ de la no comprensión.

En mi opinión aún en este osado supuesto indicado, sería bueno que el lector refrescase alguno de los conceptos clave de esta línea de investigación, me estoy refiriendo por ejemplo a tener presente la ecuación de Navier-Stokes, no cabe olvidar que alguna forma del trabajo con fluidos tiene que estar presente en el bagaje del estudioso de los agujeros negros, y de la termodinámica del universo… objetos complejos que es conveniente observar con el respeto de saber termodinámica, o al menos entenderla hasta donde se haya llegado. También para abordar este paper, o cualquier otros similar el lector no puede olvidarse del concepto de Schwarztschild y su métrica asociada, en otras palabras que se ponga a estudiar los espacios de Minkowski.

Con alguna de estas ideas en la cabeza puestas al día y una mentalidad positiva, fuerte, ánimo estudioso y sin miedo al fracaso, el lector podría enzarzarse en una lectura sobre el estudio de los agujeros negros desde una perspectiva muy evolucionada y puesta al día. No es fácil, pero quién osó decir que las cosas interesantes han de ser fáciles… Leer, leer siempre leer

Música y matemática

Es un lugar común desde antiguo la relación estrecha entre la matemática y la música, no sé por qué me malicio que muchas personas hablan como dando por sentado dicha relación sin saber muy bien en qué consiste ni por qué es tan íntima. Gente culta de ambos ámbitos, pero muy especializada, se nota en cuanto hilvanan más de dos o tres frases, lo que dicen es lo que se dice, están a la última o a la penúltima como mucho, pero nunca van por delante como los buenos.

Sin embargo existe un pequeño grupo que sí sabe de lo que habla cuando entabla paralelismos, similitudes, analogías y todo tipo de comparaciones, creo que hay matemáticos que también son músicos, y físicos que también son músicos, y otras profesiones de la estética estructural que gustan mucho de la música, aunque no sean profesionales en sentido estricto. No es una asimetría sandia comentar que el profesional de la música no se adentra en el mundo de la ciencia más que de visita, eso si se adentra. Un científico aficionado activo a la música no sorprende, un músico activo en ciencias es más raro, la ciencia como actividad precisa algún requisito adicional, posiblemente.

Por lo que sé de ambos mundos están formados por personas que se sitúan  tan ‘natural como cómodamente’ (y siempre según su propia apreciación) por encima del común de los mortales, se muestra (y algunos se exhiben) ante los demás para demostrarles hasta dónde puede llegar la valía humana, a pesar de que ellos, público,  no sean precisamente más que espectadores que no elevan mucho el nivel.

He leído una reseña que me ha envuelto en las ganas de ahondar en la literatura existente al respecto. Son dos mundos maravillosos, según mi apreciación, y mis comentarios un poco sarcásticos me delatan, amo ambos.

Según la suculenta reseña que devoré el libro Mathematics and music by David Wright en Mathematical World quizá se ofrezca una nueva versión sugerente para el lector de estos conocimientos tan poco conocidos de puro de conocidos.

Recomiendo la reseña del Mathematical Intelligencer by Erhard Behrends que llevará a la lectura del libro, y al que no le lleve le entretendrá de nuevo ver impreso nuevos comentarios sobre un asunto de siempre (desconocido de siempre, quiero decir).

De las cosas bonitas, aunque sean pequeñas, siempre me gusta compartir algo, al menos el entusiasmo, por saber que hay gente que hace cosas que valen la pena, aun siendo pequeñas cosas.

La materia oscura, realidad o ilusión

La materia oscura, no soy una experta en materia oscura, siempre me ha parecido demasiado oscura para tener una entidad real tan contundente, no quiero inducir a error a ningún lector, donde escribo no soy experta debería haber escrito, no sé absolutamente nada de la materia oscura, . Pero lo que intuyo sobre ella, en demasiadas ocasiones me hace pensar en los fluidos imponderables, tan ad hoc, tan adaptables a cualquier necesidad, tan explicativos según conviene.

He leído un artículo recientemente que me ha vuelto a traer a la cabeza este tema que periódicamente me asalta Is dark matter an illusion created by the gravitational polarization of the quantum vacuum?  by Dragan Slakov Hajdukovic. Es un artículo técnico así es que abordarlo no es una cuestión baladí, ciertamente está escrito con intención divulgativa, pero al hablar de divulgación me refiero a divulgación casi casi inter pares, entre colegas, e incluso en pasajes solo dedicado a aquellos que trabajan en esta materia. En cualquier caso, en mi opinión, el conocimiento es universalizable, lo cual significa que quien conozca a fondo el pensamiento cuántico, quien no se sienta intimidado por el abstruso lenguaje de la física cuántica, sin ser necesariamente académico puede leerlo con la seguridad de que alguna idea obtendrá y en cualquier caso con la seguridad de que se puede aprender y reflexionar.

A mí me invitó a la lectura el título, pero el abstract me sedujo totalmente, me parece interesante que alguien osé decir que la materia oscura puede no ser más que la manifestación de un fenómeno físico no conocido, o mal conocido o no estudiado, y no necesariamente tener entidad propia, ser un objeto matematizable en sí mismo, sino a través de otros. Me pedía a gritos lectura el articulito.

Como es corto son solo 6 páginas y las matemáticas que conlleva son sencillas, invito a leerlo a quien se sienta interesado por estos temas e intuiciones. El propio autor advierte que el trabajo está todo por hacer y no hace sino una propuesta de trabajo más que una demostración exhaustiva, pero me parece que es una fuente de ideas e imaginación como todos las propuestas que son buenas. Una oportunidad para la reflexión que no se debe dejar atrás.

Fermat vs los cartesianos

En la historia de los principios variacionales que tanto me gustan, Fermat (1601-1665) ocupa un lugar destacado. La idea de las analogías ocultas de las cosas está en la base del pensamiento creativo y la belleza como cualidad intrínseca de los objetos propios de las ciencias naturales que organiza mi pensamiento no es un asunto ornamental en el placer de ver (o de pensar que viene a ser lo mismo para quien entendiendo lo que digo lo lea… aquí copio un recurso expresivo de Wittgenstein).

De familia burguesa y por formación jurista que llegó a consejero real en el parlamento de Toulouse y que alcanzó altas responsabilidades en la magistratura (lo que le permitió añadir el ‘de’ a su apellido), Pierre de Fermat es un hombre importante en la historia de la matemática, actividad que desarrolló al margen de su profesión, como divertimento. Puesto que se desenvolvía en otra esfera social no participó en algunas de las discusiones de su tiempo, en las que no faltaba nunca Marin Mersenne (1588-1648) y los cartesianos incluidos el propio Descartes (1596-1650).

En esta nota quiero destacar la crítica de Fermat a la Dioptrica de Descartes. No es una discusión más entre mentes brillantes, en esta discusión está el germen del principio de mínima acción, cuyo origen conviene atribuir a Maupertius (1698-1795) para fijar contexto y época.

Una de las objeciones que me parece interesante señalar es aquella en la que Fermat explica que de las numerosas maneras en que es posible descomponer el movimiento de la pelota cartesiana en dos direcciones, Descartes elige aquella que le conviene para su conclusión previa, es decir que acomoda en medio a la conclusión, así es que nos quedamos como estábamos, por expresarlo de forma coloquial, avanzamos poco en el conocimiento. Fermat en su pasión al contestar la propuesta cartesiana actúa con una precisión molesta para su compatriota. Estos, a su vez, son contestados, pero quizá hay un elemento más general interesante en la argumentación de Fermat que trata sobre las analogías y su validez como prueba, y en ese sentido versa sobre la naturaleza de los principios físicos.

El principio de Fermat sobre el comportamiento de la luz emana de esta controversia fina y minuciosa con las ideas cartesianas, el principio variacional es precioso y estudiarlo con detenimiento es una puerta de entrada para la ardua, pero interesante tarea de adentrarse en la forma variacional de la física. Si consigo que algún lector sienta curiosidad sobre Fermat y sus valiosas aportaciones matemáticas estaré contenta, quizá en otra ocasión escriba algo más centrado el principio de Fermat y el movimiento de la luz, es una reflexión muy interesante  (qué manera más insulsa de describirlo) sobre el cambio de medio y la influencia en la trayectoria de la luz. Aprendamos a pensar en términos de la naturaleza es alegre.

Euler, comentarios sobre funciones

 

Un pequeño artículo que encontré  a través de NUMDAM que forma parte del archivo del seminario de historia de las matemáticas (Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques) y que es una traducción al francés de un escrito de Leonhard Euler (1707-1783) con título en esta versión De L’utilisation des fonctions discontinues en analyse, escrito y revisado seguramente entre 1765 y 1767 es una pequeña joya que se encuentra una por suerte de vez en cuando en los archivos históricos de la ciencia.

Una visión tan clara, una presentación tan poco pretenciosa de lo que se pretende contar, de lo que se quiere hacer ver de lo que se muestra, que en este caso es una reivindicación de las funciones discontinuas, me parece fascinante. Uno de esos artículos que enseñan a pensar en matemáticas, a ver matemáticas, a apreciar lo que tiene de valioso, de interesante y de divertido la matemática.

Creo en Euler además de como el gran matemático de todo el mundo consabido, como un gran divulgador. Leer cosas como estas, no muy largas, no muy trascendentes, como casuales, da mucho que pensar.

Piensa el lector que sabe mucho sobre funciones, que sabes más que la mayor parte de los mortales, que las manejas con soltura y que al menos las más elementales no tienen secretos para él… Pues quizá tal pensamiento sea una osadía. Tal vez convenga no dejarse llevar por la urgencia de los tiempos en que nos toca leer, detenerse y reflexionar despacio en artículos como este.

La noción de función, la noción de función continua, el avance en la progresión de los conceptos por el camino que pretende llevar al lector, el lenguaje que utiliza donde cada palabra tiene su valor exacto. Son 30 páginas escritas cuando ya tenía mucho escrito, cuando ya había pensado, explicado, y discutido de estos asuntos con personas a su altura (de esas pocas), con personas que pudieran ver y captar su altura, de personas que intuían su altura… y de quienes pasados varios cientos de años, cuando el mundo y la vida son otros distintos a los suyos, seguimos aprendiendo de él, y no importa si  ahora lo habría escrito de otra manera o si ahora escribiría otras cosas. Aquí hay buenas matemáticas, matemáticas de las que enseñan a mirar matemáticas…

Este comentario no está a la altura de lo comentado, léase el artículo está a disposición de la humanidad.

Ecuaciones y otras alegrías (XI): la ‘acción’ en el siglo xx

Los principios variacionales tienen una larga historia que los han ido adaptando a los tiempos científicos por los que transitaban, lo cual los ha vuelto flexibles y sabios, y no han perdido ni la frescura ni la belleza en el curso del tiempo, su fabuloso poder explicativo hace muy difícil permanecer indiferentes a su influencia, bien con admiración, bien con prevención, bien con desconcierto y en fin con toda la variedad de actitudes características de estos seres vivos que somos los humanos.

Pues sí en el siglo xx la vieja ‘acción’ volvió a florecer rejuvenecida. La travesía por la historia del principio de mínima acción es una secuencia de aventuras y desventuras, discontinuidades, rupturas en todos los sentidos: en su estatus, en su uso, en su comprensión más o menos profunda… así ha pasado del ostracismo a ocupar una posición de privilegio según diferentes momentos.

Desde Maupertius (1608-1795) en particular hasta de Broglie (1892-1987) los avatares se suceden; y Feynman (1918-1988), el maestro de todos los estudiantes de física de la segunda mitad del siglo xx, tiene un trabajo precioso. Para de Broglie la ‘acción’ es una magnitud unificadora y fundamental, desde Maupertius la escritura variacional tiene ventajas universales y en ella la ‘acción’ ocupa una posición primordial, tras de Broglie la mecánica cuántica, en la cual coexisten distintas formulaciones en ocasiones enfrentadas (el pensamiento variacional torna a perder protagonismo). Pero en el siglo xx, el debate de ideas sobre las escrituras de las leyes de la física estuvo muy vivo, y aquí el lector debería apreciar con mimo que la controversia sobre las posibilidades de la escritura variacional para las nuevas ideas físicas vuelve a sus orígenes para auto-ordenarse, es decir a la óptica y a la mecánica. La tesis de Feynman (1942) versa sobre el principio de mínima acción en mecánica cuántica, y así un formulación nueva de la mecánica cuántica nace, en ella adquiere un lugar central una vez más la ‘acción’ y se retoma la discusión epistemológica del estatus de este principio (el de mínima acción) en las ciencias; asistiríamos al nacimiento de la idea de integral de camino, soberbio trabajo de camino emprendido por Richard Feynman.

Recomiendo siempre a los lectores que se familiaricen con Feynman, pero en este caso también con el duque de Broglie.

“Historia del principio de mínima acción”

Histoire du principe du moindre action par F. Martin-Robin el subtítulo (trois siècles de principes variationnels de Fermat à Einstein) tres siglos de principios variacionales que estudia esta magnífica historiadora de la física, y física ella misma. Este trabajo es extraordinario y no lo cito aquí en vano más de una vez, requiere una lectura reposada y concienzuda, nadie se amilane si invierte más tiempo del que normalmente necesita para otras lecturas. No es un libro de divulgación popular, es un libro de historia de la física-matemática.

En estas páginas procuro no comentar trabajos de bajo perfil, y por eso en numerosas ocasiones me refiero a trabajos no estrictamente divulgativos (o quizá sería mejor decir no divulgativos en sentido de banalizadores de contenidos, o de material engañoso que sirve para hacer creer al lector que entiende cosas que en realidad no entiende), pero que considero que puede ser accesibles para personas con un cierto interés, un cierto nivel de conocimientos, y con mucha pertinacia. Es imprescindible en estas materias no ser presa fácil del desaliento.

El libro que comento aquí es un libro accesible pero precisa algunos conocimientos iniciales es una buena fuente de documentación histórica.

Consta de cuatro capítulos, un preámbulo y anexos, más las referencias bibliográficas, los índices y todos los materiales que conforman un libro. El preámbulo es prometedor y las páginas que le siguen no decepcionan. El primer tema tratado es el debate en torno a la refracción de la luz, buen comienzo aquí ya nos topamos con Descartes, Fermat y otros sujetos de primera línea, sus ideas, sus controversias y sus aportaciones. En el capítulo segundo ya se entra de pleno derecho en Maupertius, Euler y la mínima acción. El capítulo tercero Lagrange no lo comparte, lo llena, lo mismo que ocurre en el cuarto con Hamilton. Esto no significa que no haya lugar para otros protagonistas que no personajes secundarios. Me refiero a Jacobi, por ejemplo, también hay lugar para individuos que sin llegar a trascender sin embargo deben ser reconocidos con contribuyentes imprescindibles. Cito nombres, pero el libro está pleno de historias matemáticas, de logros, de explicaciones y de coherencias.

La última lección se centra en los desarrollos de los principios variacionales en el siglo XX con Schrödinger y Feynman como protagonistas, un libro más que vale la pena.

Vuibert, París, 2009

Poincaré y la teoría de la relatividad

Todavía de vez en cuando vuelve a surgir la controversia sobre el papel desempeñado por Poincaré  (1854-1912) en la construcción de la relatividad especial o relatividad restringida. Se siguen estudiando documentos suyos escritos entre 1905 y 1906, en 1905 publicó Einstein el artículo ‘fundacional’. 

Las aportaciones de Poincaré a la construcción de las matemáticas de la relatividad especial son públicas, y no creo que casi nadie se atreva a negar esos hechos. Son muchos sus trabajos de perfeccionamiento de las ecuaciones en las transformaciones de Lorentz, que articulan la relatividad. Pero resulta más controvertido el asunto sobre su aportación a las ideas como pilares básicos sustentadores de esta teoría. El andamiaje físico sobre el que se sustenta la relatividad especial.

A este propósito hay muchos trabajos y estudios hechos, pero yo me refiero en estas notas al realizado por Emily Adlam titulado “Poincaré and Special Relativity”, podría haberme detenido en algún otros de los muchos buenos que hay. Lo hago en este, porque su lectura no me parece difícil para un lector no ducho en teoría especial de la relatividad, pero que sin embargo posea una formación científica suficientemente sólida.

Desde luego es una artículo para leer despacio y con detenimiento, es la manera de sacar lo mejor de él, como suele ocurrir con todas las lecturas buenas.

La autora escribe:  […]One element which links the work of both Poincaré and Einstein is a preoccupation with the principle of relativity. But it is important to be aware that Einstein and Poincaré were not working with precisely the same principle. Compare their two formulations:

Poincaré: ‘the laws of the physical phenomena must be the same for a motionless observer and for an observer experiencing uniform motion along strainght line’ (1904)

Einstein: ‘the laws by which the states of physical systems undergo changes are not affected, where these changes of state be referred to the one or the other two systems of coordenates in uniform translatory motion’ (1905)[…]

Señala la autora que la diferencia crucial estriba en la necesidad de un observador en el caso de Poincaré, necesidad que no existe en absoluto en el trabajo de Einstein, and so on…

Animo al lector a leer y reflexionar sobre este u otro artículos referidos a la relatividad, supone un gran placer.