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Fuerzas dependientes de la velocidad, un curioso y bonito problema de la mecánica

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El ingenio tiene muchas caras algunas son muy bonitas, este que cuento ahora me gusta mucho. Los formalismos de Newton y Lagrange coinciden en los casos de las fuerzas que proceden de un potencial (fuerzas no disipativas), sin embargo para las fuerzas de rozamiento que se pueden escribir como función de la velocidad, la cosa es más peliaguda, bueno de hecho son tan dificilmente encajables que forman otro pequeño corpus de conocimiento. La mecánica de los medios continuos resulta, de este modo, más apropiada y de hecho muy agradable para estudiar estos procesos naturales.

Sin embargo, hay un ejemplo muy bonito en el que resulta interesante tratar sistemas disipativos simples con un pequeño truco. Fíjese bien el lector aquí en la idea de ‘sistema espejo’ para familiarizarse en cierta manera con algunas formas de la heurística propia de esta ciencia. Pero cuidado, hay que tener en cuenta que esta trampa matemática no debe hacer caer a nadie en la tentación de otorgar sentido físico a lo que no lo tiene, no hay que perder el norte. Siempre hay que tener cuidado al manipular este tipo de tratamientos y de cosas.

Supongamos que por efecto Joule, rozamiento, o cualquier proceso de este tipo, un sistema pierde energía, la astucia consiste en acoplar adecuadamente un sistema espejo ficticio que sería el encargado de absorber toda la energía que se pierde en esta disipación, de tal manera que la energía total de ambos sistemas permanezca constante en el curso del tiempo.

mx”+ Rx’ + kx = 0 Vea el lector esta ecuación (oscilador armónico amortiguado), ahora el oscilador amortiguado espejo que precisamos para atacar el problema mediante el formalismo lagrangiano tendrá como coordenada x* por ejemplo. Esto facilitará la escritura del Lagrangiano para el conjunto formado por los dos sistemas, luego de obtener los momentos conjugados y comprobar que no tienen ninguna relación con el momento del oscilador (mx’) se consiguen escribir con alguna costumbre en estas tareas las ecuaciones mx”+ Rx’ + kx = 0 y  mx*”- Rx*’+ kx* = 0, bueno aquí ya está la ecuación del oscilador que absorbe constantemente la energía que el primer oscilador pierde.

La energía se conserva en el tiempo, x* crece tan rápido como x disminuye.

Bonito ejemplo para animar al lector a retomar de su estantería el Landau, el Feynman o cualquiera de sus libros de mecánica favoritos.


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