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Jacobi y la ‘acción’

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Admirador y crítico, así le describe Martin-Robine. Los que físicos teóricos que se dedican de pleno a los sistemas dinámicos o a la mecánica cuántica enlaza estos nombres como el de una pareja bendecida por la indisolubilidad. Al pasar por una facultad de física se ha pasear necesariamente por esta bonita ecuación

\frac{\part S}{\part t} = L - \sum_i p_i\dot{q}_i = -H(p_i,q_i)                (*)

Aquí reconocemos a Lagrange (1736-1813) (L), a Hamilton (1805-1865) (H), a la acción (S)… En pocas palabras vemos la ecuación de Hamilton-Jacobi. Jacobi (1804-1851) cuyos trabajos son decisivos para la comprensión de los principios variacionales y mejoran mucho la utilización de acción, versión Hamilton.

El principio de mínima acción, cuya complicada historia llena de luces y de sombras es quizá una de las más bonitas de la física (alguien quizá piense que debería decir de la matemática), en definitiva consiste en encontrar las ecuaciones del movimiento minimizando la acción que se define en función del lagrangiano y de los puntos de partida y de llegada.

Para trabajar con este principio variacional, que resulta ser el principio variacional por excelencia, hay que expresar la acción  como función de las coordenadas y del tiempo. Por ejemplo, cuando se trabaja con un grado de libertad, se concreta de modo práctico en el cálculo del conjunto de trayectorias, de otra manera f(x, t), la función en el instante final, para unas condiciones iniciales fijas. Así es posible calcular cuantas trayectorias no interesen para comprender nuestro problema. Tratando la acción como función de las coordenadas y del tiempo, se encuentra la ecuación (*).

Esta ecuación, en derivadas parciales, no lineal y de primer orden, al igual que las ecuaciones de Lagrange-Euler, o que las ecuaciones canónicas, sirven para calcular el movimiento (y como de momento no hemos salido de la Mecánica Clásica) recuerdo al lector que seguimos tratando con las leyes de Newton. ¿Cómo elegir un formalismo u otro?, es una pregunta que espero del lector, la respuesta está en la práctica y en la comodidad y en la estructura matemática del problema. Un bonito problema con gran simetría o con una buena separación de variables siempre encontrará un buen aliado en la ecuación de Hamilton-Jacobi, pienso en el problema de Kepler en coordenadas esféricas.

Cada lector escoja su autor preferido, yo sigo recomendando siempre empezar por Feymann, pero no es óbice, hay muchos.

 


1 comentario

  1. Rosa M Herrera dice:

    Reblogueó esto en Baricentro Blog.

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