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Un tema matemático bonito (X): el teorema de Liouville

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De los varios teoremas importantes debidos a Liouville (1809-1882) aquí quiero destacar el que conocen todos los que se interesan por  los sistemas dinámicos, la mecánica celeste y la estética estructural de los conceptos que involucran. Una manera de enunciar este teorema muy matemática, pero al mismo tiempo muy visual para la física es la siguiente:

Un volumen del espacio de fases permanece invariable durante la evolución hamiltoniana del sistema.

Esta propiedad geométrica deriva de las estructuras de las ecuaciones de Hamilton, pero sin embargo no depende de la particular forma que tenga el hamiltoniano en cada caso. La evolución en el espacio de fases [ xi, pi ] es una representación geométrica especialmente útil en mecánica. Cada estado del sistema se corresponde con un punto en el espacio de fases, de otra manera la evolución del sistema hace que el punto se desplace en el espacio de fases.

La función de Hamilton H(x, p) que está definida en el espacio de fases que es una propiedad geométrica también muy valiosa, si se define un campo de vectores (piense el lector en las coordenadas conjugadas), se define el flujo de este  campo de vectores, como el conjunto de las curvas cuya tangente en cada punto es colineal al vector en ese punto.

Paulatinamente el lector que efectúa estudiosamente se decide a entender las posibilidades que este teorema encierra va caminando paso a paso desde la mecánica analítica hacia la mecánica cuántica con una guía adecuada y un no desdeñable pero entrañable esfuerzo se encuentra camino de la mano de la matemática de la una a la otra. Es una grata coincidencia la asombrosa analogía que se puede vislumbrar entre la estructura de la mecánica analítica y la estructura de la mecánica cuántica.

El teorema de Ehrenfest podría servir de comentario o de teorema de paso entre ambos mundos, es una especie de ventana que se abre y permite el paso de un paisaje a otro, es atravesar el umbral de un mundo a otro. Y en ese borde maravilloso, en ese atravesar el espejo me quedo a reflexionar, hay otros ejemplos similares, ojalá el lector recoja la belleza que de este modo se entrevé…

 


1 comentario

  1. Rosa M Herrera dice:

    Reblogueó esto en Baricentro Blog.

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