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Algunos comentarios sobre teoremas bonitos (VIII): Euler y las funciones homogéneas

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Luz tenue, sonido tenue, tiempo calmo. El río, los llorones que lo flanquean, los puentes siempre perfectos. En este ambiente del principio otoñal no muy lejano del mar, con lluvia y cielo plomizo a veces encuentro de nuevo el placer de un trabajo bien hecho. Podría haber tratado cualquier otro punto, pero elijo este que me acompañó estos días de sosiego. Se trata de un teorema de Euler (1707-1783) que sirve como argumento de preparación para estudiar la inexistencia de equilibrios en el problema de los n cuerpos.

El teorema al que se alude que estudia las funciones homogéneas tiene un valor de interés para algunos teoremas y estudios matemáticos ulteriores, para entenderlo mejor y poder utilizarlo con cierta soltura hay que conocer bien las propiedades del potencial newtoniano. Se trata de un resultado no difícil de alcanzar como casi todos los resultados que prueban existencia (o inexistencia) pero no construyen nada.

Ocurre que con su auxilio se puede alcanzar un resultado de alto interés para los matemáticos que estudian sistemas dinámicos, en concreto para aquellos que conocen matemáticamente el sistema solar y por tanto para quienes están interesados en la física (al menos en la parte mecánica) de nuestro mundo.

Un potencial newtoniano que cumpla la condición de homogeneidad de grado (-1), un subconjunto que a su vez se halla en estas condiciones y que suele recibir el nombre de cono bien conjugado con el teorema de Euler permite la osada afirmación de la inexistencia de equilibrios para los problemas mecánicos en que intervienen muchas masas relacionadas vía Kepler.

De esta manera conjugando y combinando con elegancia conocimientos matemáticos imbricados en razonamientos físicos no resulta enrevesado encontrar las soluciones sorprendentes y valiosas que resultan de gran utilidad en la comprensión mecánica del sistema.

Me parece oportuno reseñar el teorema sin escribirlo, pretendo más bien subrayar los aspectos de conocimiento encadenado y de razonamiento previo que tan ampliamente se utiliza en los estudios de la física matemática y que pescan desprotegidos a algunos estudiantes que no han sido previamente advertidos de la importancia de saber conjugar conocimientos.

Hay en español un impreso en forma de libro de mecánica celeste bastante mal desarrollado, aunque bueno en esencia, del que se puede extraer importante número de ideas interesantes de mecánica celeste y de la forma de trabajo de los matemáticos. Pero creo que aquel que desee formarse en esta materia debería usar fuentes mejor estructuradas, o más convencionales, y luego tal vez retomar alguna otra.

El ‘paper’ que me inspiró este breve es un efecto colateral. ¡Bienvenidos a la mecánica celeste!

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