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La cuerda vibrante. Un modelo sencillo, ejemplo de enorme poder explicativo

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En la mecánica de los medios continuos adquiere su máximo esplendor la teoría de campos expresada en formalismo lagrangiano. Una teoría que rinde un tributo supremo a la física en el ámbito de las interacciones fundamentales y de la cuantificación de los campos.

Un modelo a seguir para explorar y adentrarse en el formalismo lagrangiano asociado a la teoría de campos se encuentra amablemente en la física de una cuerda vibrante. Imagine el lector la cuerda descompuesta en elementos finitos que están en interacción y aplique la teoría de Lagrange. Al pasar al límite continuo, el langrangiano tras algún paso intermedio se obtiene la ecuación de ondas. El punto delicado del paso al continuo permite el número infinito de grados de libertad y aquí es donde este formalismo sirve de manera muy cómoda y se adapta estupendamente al problema.

El lector debe conocer las características de la cuerda que tiene que ser elástica y cuya longitud, l, sirve para fijar uno de los extremos en que está fija (x = 0, x = l), para resolver el problema no se tiene en cuenta el peso y la densidad de masa es uniforme. Las deformaciones que se tienen en cuenta son las transversales (ondas transversales, elongación transversal). Para hacer un poco más simple el problema sin perder contenido se considera la elongación vertical, o bueno expresado de otra manera, en una dirección.

El lector a estas alturas pensará en una cuerda como una agrupación de un gran número de elementos cada uno de los cuales se caracteriza por una longitud dx y que cumple las leyes de la dinámica. Para que la cosa funcione del todo la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial debe ser lo menor posible.

Con estos mimbres construimos el lagrangiano y a partir de él operando convenintemente de una manera muy elegante se obtiene la ecuación de ondas.

El propósito al escribir estas notas es recordar al lector que con ejemplos sencillos se puede llegar muy lejos, no hay otra finalidad y he obviado la escritura matemática correspondiente, porque en este ambiente desestructurado e informal, pretendo casi siempre proporcionar pistas para el repaso y el recuerdo a quien alguna vez haya conocido algo de lo que aquí se trata, pero de forma más intensa busco llamar la atención sobre cosas bonitas que están en la proximidad de quienes se interesan por estos asuntos y se divierten ahondando en ellos. Los libros clásicos de Mecánica son idóneos para echar un ojo, cada quien elija el suyo.

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3 comentarios

  1. […] puede leer también el breve sobre la cuerda vibrante, modelo simple y precioso en estas […]

  2. Enhorabuena por tu blog. Me estoy formando e informando sobre la materia y me parece muy buena tu aportacin.

  3. Rosa M Herrera dice:

    Reblogueó esto en Baricentro Blog.

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