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Corchetes de Poisson

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Unos comentarios sobre estas entidades matemáticas tan útiles desde su aparición hace ya bastante más de un siglo, los corchetes de Poisson (1781-1840). Una de las dificultades cruciales en la ‘cuantificación’ de las fuerzas fundamentales es su descripción clásica. Esta se realiza a partir de la integración temporal del lagrangiano que describe el sistema (la acción) es invariante para ciertas transformaciones, las de gauge. Como estos sistemas en la descripción clásica ya son bastante complicadillos, porque la evolución temporal es indeterminada. La invarianza por las transformaciones de gauge se escenifica con la presencia de ligaduras, aquí los corchetes de Poisson son una herramienta imprescindible para estudiar y desarrollar estas teorías.

La potencia de este utillaje, que está en plena vigencia en el desarrollo de la física matemática actual, nunca es suficientemente agradecido a su autor que tiene menos cartel que otros. Seguramente, aunque no lo sé, porque no fue muy verbal.

Para el electromagnetismo y las otras dos interacciones nucleares fundamentales, la fuerte y la débil, su descripción cuántica es muy buena a través del modelo estándar de partículas, que además responde experimentalmente muy bien, a pesar de que permanecen abiertos un buen número de problemas y otros que van surgiendo en el curso del desarrollo de esta física.

La gravitación que es la cuarta interacción fundamental con la que describimos el universo no se deja cuantificar de manera satisfactoria, esta incoherencia significa que nuestro constructo teórico- experimental es incoherente para los dominios cuya energía es superior a la de Planck a partir de los cuales los efectos cuánticos ya no son despreciables en el estudio de la gravedad. La resolución del problema de la cuantificación de la gravedad es uno de los retos principales de la física matemática actual.

No obstante hay grandes avances con la teoría de cuerdas y los estudios de  la aproximación (todavía no perturbativa) de la gravedad cuántica no se puede decir que los resultados son muy satisfactorios.

Para aboradar este complejo mundo es importante conocer a fondo y dominar las teorías de gauge y su herramienta matemática indispensable los corchetes de Poisson.
Un buen libro aunque no quizá para los principiantes más  noveles es el de J-L Basdevant Le principe de moindre et les principes variationels en physique, aunque las ideas principales de esta nota las he extraído del artículo de W. Fairbairn et C. Meusburger  Crochets de Poisson, théories de jauge et quantification

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