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Un breve sobre computación

La revolución computacional por ponerle un nombre de cambio social similar a la revolución industrial tiene consecuencias impredecibles y muchas me gustan. Me gustan de presente y de imaginar el futuro.

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Los sistemas físicos programados para calcular, simular y efectuar trabajos no son ‘perfectos’; de otra manera: los ordenadores cometen errores. La combinación de modelización y simulación con la inestimable ayuda, en todas las etapas del proceso, de las matemáticas producen gran cantidad de información de interés en campos muy dispersos al menos aparentemente. Los algoritmos rápidos útiles para computación son valiosísimos para calcular toda suerte de valores importantes para asuntos de interés a los humanos. Sin embargo, los resultados no son perfectos y los errores de cada paso se van acumulando hasta el final del cálculo lo cual significa que hay que tener mucho cuidado de este resultado siempre, pero dependiendo del asunto mucho más que mucho cuidado.

El asunto es fácilmente comprobable sin ser ingeniero o científico, cualquier no experto que es usuario ha notado alguna vez la discrepancia entre máquinas al leer un documento, pero claro en ocasiones estas minucias pueden encubrir problemas que es preciso solventar. Para la vida cotidiana afectan asuntos relacionados con la meteorología, sobre todo en aquellas regiones con climas más o menos extremos, todo el mundo está pendiente de las predicciones, y se molesta con los pequeños errores en su región, pero hay errores o acumulaciones de errores computacionales más llamativos como los que se han producido con misiles en la guerra del golfo o en la célebre explosión del Ariane 5.

La idea que subyace en esta breve nota es que los ordenadores en los cuales sustentamos gran parte de nuestra actividad cotidiana son sistemas físicos y conviene no cargar toda la responsabilidad de sus ‘deficiencias’  a cuestiones fortuitas, que es un error de desconocimiento. Disfrutemos de las enormes ventajas de estos más que instrumentos y herramientas, estudiémoslo con alegría y ahínco pero sin olvidarnos de dónde estamos.

Existen gran variedad de lecturas sobre ordenadores, un ejemplo “Arithmétique des ordinateurs et preuves formelles”. Invito a la reflexión.

El piano y la física

Captura de pantalla 2014-02-25 a la(s) 00.26.56El pianoforte, instrumento complicado, y la música, forma de la pasión y del conocimiento, como la física y quizá a veces las mates, al menos para mí y para algunas otras personas que me constituyen.

Un sistema mecánico para producir sonido de una capacidad excelente, protagonista en los grupos musicales casi siempre, poco acostumbrado en estos casos a ceder su papel de privilegio, pero que lo puede, lo sabe y lo hace en ocasiones sin
complejos. Un instrumento majestuoso. Cuando el pianista ataca una tecla con cualquiera de sus dedos, un martillo golpea una, dos o tres cuerdas simultáneamente, la nota, como consecuencia de ello la cuerda o las cuerdas vibran, el conjunto de todas las cuerdas es un arpa cromática que se acciona indirectamente, el tablero armónico amplifica las vibraciones, recibe la energía de las cuerdas y vibra en el mueble que contiene este mecanismo y después solo la lectura del sonido y nosotros.

Aunque esto es un esquema muy simplificado contiene en resumen el proceso principal de la producción sonora de este mecanismo. Lo que aquí quería contar es que cada una de estas etapas se puede escribir y modelizar por una ecuación que procede de las leyes de la física que intervienen en este proceso. Para obtener las soluciones de este modelo habrá que recurrir a cálculo numérico, porque los métodos del análisis no son viables.

Como estoy muy interesada en la simulación computacional me ha parecido muy divertido un pequeñísimo artículo que leí, en el que se simulaba un piano imposible, con acústica propia de un piano real. El sonido que se produce con estos instrumentos virtuales actúa sobre el cerebro causando sobre él una sensación de objeto físico. Un piano virtual e imposible en lo real que impresiona el cerebro como un piano real.

Fantástica opción para los compositores musicales y para los investigadores científicos en armonía, tal vez.

Se puede leer también el breve sobre la cuerda vibrante, modelo simple y precioso en estas páginas

Leer a Arnold

Vladimir I. Arnold (1937-2010) Para no extenderme demasiado en esta ocasión y dejar que sea él mismo quien hable adjunto un documento que es una traducción de un prólogo de un libro suyo que ya comenté aquí. Quizá  todo lo demás sobra

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Teoría de las catástrofesRH-Arnold catástrofes

Sucintos comentarios sobre entes matemáticos interesantes (IX): espacios de configuración

Los sistemas mecánicos (y otros sistemas físicos) que son especialmente interesantes se modelizan encuadrados en un marco global que supone la generalización de las coordenadas locales y que con frecuencia se reconoce como espacios curvos, que en sentido ampliado se designan con la expresión espacios de configuración.

Los matemáticos enseñan que los espacios de configuración son indisociables con la modelización de un sistema del cual nos interesan sus propiedades globales. En ese sentido, la estructura matemática de pensamiento proponen que es necesario que las coordenadas locales han de cumplir unas condiciones para resultar útiles, lo que en sentido físico más tosco podríamos enunciar como que sean adecuadas o cómodas, un problema se ve mejor si se observa desde una posición adecuada. En esta situación hay que tener en cuenta y conjugar las necesidades de espacios de dimensión infinita que se presentan en muchos problemas de la física.

Como ejemplo de herramientas interesantes que es conveniente manejar con soltura para moverse en espacios de configuración con solvencia son inevitables las aplicaciones diferenciales (entre espacios de configuración). Piense el lector en los espacios vectoriales que tratados con las herramientas propias de los espacios de configuración conducen a las coordenadas curvilíneas, así algunos problemas geométricos se ven muy bien desde esta perspectiva (esferas, toros… cuestiones de geometría proyectiva), si se consideran las coordenadas clásicas y algunos casos que pensamos como prototípicos de la mecánica en los cuales estos son los espacios de configuración. Hay bastantes ejemplos muy bonitos y muy útiles, cabe citar el de los grupos de rotación de la mecánica del sólido que se mueve en torno a un punto, los cuales conllevan una geometría muy rica asociada a un sólido alrededor de un punto fijo, la idea de spin procede de las parametrizaciones clásicas de Euler y Cayley Klein para este caso.

Matemáticamente un espacio de configuración es un espacio topológico separado, en el que cualquier punto está rodeado de una bola abierta homeomorfa a un espacio vectorial; en definitiva, simplificando cabría decir que la información que proporcionan los espacios de configuración sobre los espacios mecánicos es la de todas las posiciones posibles y la dimensión de la variedad diferenciable que llevan asociados identifican los grados de libertad.

Mi propuesta en esta nota se relaciona con la voluntad constante que me anima a señalar al lector que pierda el miedo a adentrarse por caminos no trillados, lo fácil suele cansar antes y es de una belleza que se marchita pronto, en la enjundia de los libros buenos de cálculo variacional se encuentra más emoción y hermosura que en cualquier simplificación rápida… esa es la opinión que apoyo

Un ejemplo de la relación entre matemáticas y la ingeniería

images (1)picasso-mujeres1Los métodos matemáticos y la informática aplicados a la ingeniería de minas proporcionan unas herramientas valiosísimas de trabajo que complementan los trabajos tradicionales de los ingenieros. Un ejemplo más de la interrelación entre la ciencia pura y la ciencia aplicada y la ingeniería. Leí un trabajo, que es un proyecto de fin de carrera de un joven ingeniero de minas, y me llamó la atención -prueba inequívoca de mi bisoñez en estos asuntos- que en el estudio de la autoignición de materiales de riesgo se tuviera en cuenta no solo las características de dichos materiales, como las propiedades físicas y cinéticas sino que también considerase de interés las características geométricas del mismo. Normalmente la física y la geometría suelen ser amantes muy cariñosos entre sí, pero no había caído que en cuestiones puramente de estrategia y conducta ingenieril tuvieran su valor y su interés.

Este pequeño trabajo de investigación que me parece laborioso y bien dirigido es un estudio minucioso y que contempla muchos aspectos implicados en la estrategia de trabajo de los ingenieros de minas, personas que miran la Tierra desde una perspectiva muy diferente a como la miramos aquellos a quienes nos gusta contemplar por encima de cualquier otra cosa el cielo y el mar. Una mirada inteligente y humana que tiene también en cuenta aspectos económicos, asunto que lo torna aún más relacionado con el ser humano completo que todos pretendemos llevar dentro. O con el que soñamos alcanzar. A. H., mi sobrino que es el autor de este trabajo, estoy segura de que ha hecho un esfuerzo considerable en su primera experiencia de investigador, no solo en el camino de la ciencia aplicada, sino también en el camino de persona, de ser humano que da sus pasos primeros por la vida y por la comprensión del mundo. No sé dónde llegará, pero espero que sea dichoso en su andadura este trabajito es un bonito comienzo, le auguro suerte y le dedico estos párrafos.

[...]condiciones de autoignición en pilas de materiales sólidos de riesgo, tales como escombreras, parques de carbón, almacenamiento de purinas, abonos, fertilizantes, materiales agrícolas, etc.[...]

Teoría lagrangiana de campos

‘A veces es necesario poner un mar de por medio para ver las cosas más de cerca’, lamentablemente no recuerdo el nombre del autor, ni la obra, aunque creo recordar al músico y literato Alejo Carpentier, pero no afirmo con rotundidad.

La mayor parte de los estudiantes-estudiosos de  mecánica con los que voy tratando que disfrutan viendo las cosas de una manera cada vez más completa, vislumbrando cada vez más, suelen madurar el formalismo lagrangiano poniendo un mar de por medio.  Otros no, claro está, hay quienes se apropian desde el principio de esta poderosa herramienta, descarto a los que no logran interesarse.

Quizá lo primero que haya que tener presente cuando se acerca alguien a curioserar en esta fuente de sorpresas agradables, aunque quizá al principio duras, es que la máxima potencia del formalismo se consigue se consigue en sistemas de un número de grados de libertad elevados (el lector puede interpretar infinitos), como en la mecánica del continuo.

La teoría de campos es tan enorme que recubre la campiña en la cual podía estar situada escribiendo estas líneas o el lector encontrándose con ellas. Esta vasta teoría es de una riqueza extraordinaria cuando se utiliza en las teorías de las interacciones fundamentales y claro en la cuantificación de los campos.

Para leer sobre la teoría clásica de campos gravitacionales lo más bonito es leer los trabajos de Landau. En la teoría electromagnética de campos desempeñan un papel insustituible porque facilitan mucho la tarea y dan nueva luz a la misma.

Una manera bonita de introducirse en este terreno es estudiar la física de una cuerda vibrante, y de una manera elegantísima se obtiene la ecuación de ondas, la clave es la extensión al continuo, recuerde el lector a un número infinito de grados de libertad, en el que se observa con asombro de qué manera tan precisa el formalismo lagrangiano se adapta a este problema, como un guante.

Una vez el lector supera esta fase puede pasar a un orden superior y atreverse con la ecuación de difusión de Fourier, que se puede tratar como un fenómeno disipativo (no es reversible). Aquí ya se puede enlazar con la ecuación de Schrödinger y estudiarla con este punto.

Pero quizá el lector debería detenerse con mucho tiempo por delante en el caso del campo electromagnético, porque si logra superarlo habrá llegado mucho más lejos que la mayoría. El campo magnético que es inseparable de las partículas cargadas, sus fuentes.

Me gustaría que alguna persona se lanzara al interior de este mundo, esa una osadía que en unos cuantos renglones se logre despertar el interés, pero si se consigue mínimamente lo doy por bueno.

Un artículo de Einstein recuperado en el siglo xxi

Una traducción de un artículo ‘inédito’ de Albert Einstein (1879-1955) datada en 2006, se refiere, en el plano teórico, a la superconductividad el traductor a quien esta lectora agradece el trabajo es Bjoern S. Schmekel, introduzco el título sin alargar más Theoretical remark on the superconductivity of metals en -arXiv.org-.

superconductividad

Tras una breve introducción sobre el carácter y el valor del experimento científico en la elaboración de las teorías físicas, o lo que es lo mismo -más o menos-, en la construcción del conocimiento racional del mundo, entra de lleno en el problema que pretende abordar que no es otro sino el de la evolución de la idea de conductividad de los metales debido, en parte, a la ‘revolucionaria’ noción de superconductividad. Para llegar a entablar una analogía con la teoría cinética de los gases va desgranando el autor sus argumentos, y así las conductividades eléctrica y térmica tan propias de las sustancias metálicas se muestran en correlación inmediata  con movimiento de electrones y de ahí se pasa, casi sin solución de continuidad, a la analogía con la teoría cinética de los gases. La traslación se hace considerando el papel que desempeñan las moléculas de los gases como representado por los electrones.

En el artículo continúa la simpatía por la comparación entre teorías por la idea de dar buenos resultados numéricos: predice adecuadamente índices y coeficientes de valor experimental y otros motivos similares. La relación de la resistencia con la temperatura metálica, en general todos los tópicos de la materia son tratados con fluidez, explicados con claridad y por decirlo en resumen resultan bien contados, aparecen la teoría cuántica como fuente de explicación, Rutheford, los movimientos de los electrones en las superficie de los metales.

A mí me parece un artículo muy agradable de leer, muestra un encadenamiento de razones y razonamientos de manera natural, clara y bien expuesta. Un enseñanza para todo lector ávido de ciencia es que la cultura en general y la científica en particular es una fuente natural de conocimiento científico que puede alimentar la intuición y la imaginación creadora, además de proporcionar noticias de cosas que son válidas.

Un artículo muy recomendable para estudiosos, y para los amigos de leer Einstein.

Agradezco la cuidada traducción, y la puesta en Arxiv de este trabajo

En torno a la refracción de la luz…

Los debates científicos son largos y duran mucho tiempo, tienen el atractivo inconveniente de que implican a muchas personas que no siempre están próximas en distancia física, aunque a veces sí lo estén en distancia intelectual, espiritual, emocional o de cualquier otra manera del estilo humano. Me acojo a mi “libre albedrío” de elegir el tema que cuento al lector posible, y me centro esta vez en un fragmento de un libro precioso de Florence Martin Robin Histoire du Principe de Moindre Action, el asunto es la discusión entre Descartes (1596-1650) y los cartesianos sobre la naturaleza de la refracción de la luz. Las ideas y venidas, los símiles mecánicos tan ingeniosos y brillantes como fllojos en algunos puntos más o menos flagrantes. Los límpidos e impecables razonamientos, veo a Descartes como la autora (y quizá un poco a través de ella) como un científico más que como un filósofo, que es el perfil que más se pone en valor en la escuela, aquél en que convergen los rayos de luz y, aquí juego fácilmente a las palabras bonitas y a los requiebros. El asombroso modelo mecánico que Descartes usa no está agotado, aunque pareciera marchitarse algún tiempo después de que su valedor dejara de sostenerlo con fuerza.

He visto y leído a matemáticos vivos y contemporáneos aplicar cuidadosamente modelos mecánicos similares para desarrollar sus teoremas, para sacar sus pequeñas (más o menos) conclusiones y para poner en circulación en el mundo sus aportaciones al mundo. He visto como artículos cuasi fundacionales o al menos seminales de grandes físicos que juegan con la teoría de campos, con el electromagnetismo más o menos acondicionado y con algunas pequeñas-grandes observaciones pero sobre todo muy fecundas, conducen a estudios y sobre estudios y problemas abiertos y desarrollos matemáticos y creación de nuevos objetos, mientras escribo estoy pensando en Fermi (1901-1954), y en un artículo suyo sobre el origen de la radiación cósmica. Después artículos y artículos sobre modelos mecánicos, pero como excusa para nuevas ecuaciones, y desarrollos matemáticos que sobrepasan la mecánica, la óptica y sus continuos enredos de ida y vuelta. Matemáticos más o menos jóvenes y más o menos prestigiosos que descubren nuevas ruedas. La rueda que Descartes que inventó Descartes o. No está mal, pero hay antecedentes de casi todo.

Recomiendo la lectura de la obra completa a quienes conociendo el francés, disfruten de la historia de la ciencia bien hecha.

La edición es de Vuibert, París, 2005

Algunos comentarios sobre teoremas bonitos (VIII): Euler y las funciones homogéneas

Luz tenue, sonido tenue, tiempo calmo. El río, los llorones que lo flanquean, los puentes siempre perfectos. En este ambiente del principio otoñal no muy lejano del mar, con lluvia y cielo plomizo a veces encuentro de nuevo el placer de un trabajo bien hecho. Podría haber tratado cualquier otro punto, pero elijo este que me acompañó estos días de sosiego. Se trata de un teorema de Euler (1707-1783) que sirve como argumento de preparación para estudiar la inexistencia de equilibrios en el problema de los n cuerpos.

El teorema al que se alude que estudia las funciones homogéneas tiene un valor de interés para algunos teoremas y estudios matemáticos ulteriores, para entenderlo mejor y poder utilizarlo con cierta soltura hay que conocer bien las propiedades del potencial newtoniano. Se trata de un resultado no difícil de alcanzar como casi todos los resultados que prueban existencia (o inexistencia) pero no construyen nada.

Ocurre que con su auxilio se puede alcanzar un resultado de alto interés para los matemáticos que estudian sistemas dinámicos, en concreto para aquellos que conocen matemáticamente el sistema solar y por tanto para quienes están interesados en la física (al menos en la parte mecánica) de nuestro mundo.

Un potencial newtoniano que cumpla la condición de homogeneidad de grado (-1), un subconjunto que a su vez se halla en estas condiciones y que suele recibir el nombre de cono bien conjugado con el teorema de Euler permite la osada afirmación de la inexistencia de equilibrios para los problemas mecánicos en que intervienen muchas masas relacionadas vía Kepler.

De esta manera conjugando y combinando con elegancia conocimientos matemáticos imbricados en razonamientos físicos no resulta enrevesado encontrar las soluciones sorprendentes y valiosas que resultan de gran utilidad en la comprensión mecánica del sistema.

Me parece oportuno reseñar el teorema sin escribirlo, pretendo más bien subrayar los aspectos de conocimiento encadenado y de razonamiento previo que tan ampliamente se utiliza en los estudios de la física matemática y que pescan desprotegidos a algunos estudiantes que no han sido previamente advertidos de la importancia de saber conjugar conocimientos.

Hay en español un impreso en forma de libro de mecánica celeste bastante mal desarrollado, aunque bueno en esencia, del que se puede extraer importante número de ideas interesantes de mecánica celeste y de la forma de trabajo de los matemáticos. Pero creo que aquel que desee formarse en esta materia debería usar fuentes mejor estructuradas, o más convencionales, y luego tal vez retomar alguna otra.

El ‘paper’ que me inspiró este breve es un efecto colateral. ¡Bienvenidos a la mecánica celeste!

Divagaciones sobre el bosón de Higgs

mujer 2 ingresSi alguien se pone a pensar en la vorágine en la que se suceden las cosas en nuestros días, lo imperiosidad y la inminencia de las cosas bhpuede reflexionar un poco y pararse diciendo por qué se necesita el bosón de Higgs, y otras muchas otras preguntas. El bosón de Higgs parece emerger necesariamente del modelo estándar de partículas, que explica la relación entre todas las partículas elementales conocidas a las cuales les ‘falta’ el bosón de Higgs para completar la visión. Mientras que de las demás partículas se ha constatado fehacientemente su existencia, mediante diversas experiencias, del bosón de Higgs que se supone y se busca en LHC no hay pruebas físicas empíricas y experimentales. Esta teoría minimal está pues pendiente de ser confirmada y para ello precisa el éxito sin paliativos de la búsqueda del Higgs en el LHC.

Es interesante reseñar que en este dominio de la física, la masa se mide en unidades de energía, según la relación de la relatividad, así en eV (electronvoltios y sus múltiplos). Esta partícula no tendría carga eléctrica, y su vida media sería muy corta, de tal forma que se descompondría de  varias maneras posibles (una de ellas en dos fotones). Las partículas elementales se caracterizan por un momento angular interno (spin), que es semientero (fermiones) o entero (bosones); así es que por su propio nombre el lector ya conocerá que el Higgs, debe estar caracterizado por un spin entero, distinto de 1, debido a que no podría descomponerse en dos fotones, quedan libres los  spins 2 o más y también el spin cero, según lo esperado lo más probable que el spin del Higgs sea cero, porque según los experimentadores y los teóricos otra cualquier posibilidad encaja mal con lo que se espera de esta partícula.

Otra propiedad curiosa que cabe señalar sobre esta nueva partícula sería que su breve vida antes de descomponerse sería ‘bastante larga’ vida en comparación con otras partículas afines conocidas y constatadas, como el t-quark, de todas formas este hecho no desentona con la teoría general que hasta ahora mejor explica el mundo de lo más pequeño, que es el modelo estándar.

Llegados a este punto, seguro que al lector le asaltan dudas nuevas y algunas preguntas más. Esperemos las noticias que nos dan los investigadores.

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