Inicio » Posts tagged 'Pensamientos de física'

Archivo de la etiqueta: Pensamientos de física

Sistemas mesoscópicos

La frontera entre el mundo clásico y el cuántico es un campo muy fructífero de estudio e investigación en la físico-matemática actual. La interfaz entre ambas disciplinas aquí se diluye, los lenguajes se entremezclan y se combinan, los intereses se transfieren de unos a otros. El objeto de nuestro estudio nos torna indistinguibles, estamos ante un nuevo nacimiento de ‘la’ ciencia moderna. 

En este desarrollo científico que se está produciendo la idea de simetría (de nuevo) cobra una fuerza especial porque parece ser la que ‘pone orden’ en este mundo emergente.

En la frontera entre el mundo clásico y el cuántico viven los sistemas mesoscópicos cuyas propiedades  de transporte y de espectro se rigen por leyes matemáticas asociadas a la simetría, y es en el mundo de la simetría donde se buscan los objetos matemáticos que definen, describen y escriben estos sistemas de cuyo interés tecnológico para la construcción de dispositivos electrónicos nanométricos se tenía amplia constancia, y que además se muestra como  fascinante fuente de conocimiento y creación en la ciencia básica. La gran variedad de fenómenos que originan son una mina rica de ideas para la creación científica.

Los objetos matemáticos asociados son espacios simétricos (compactos y no compactos) cuya geometría y análisis están desarrollando equipos de investigación matemáticos, la teoría de campos las supervariedades diferenciables y todo el utillaje matemático exploratorio está en marcha y en funcionamiento. En cuanto a las ideas y estructuras fijas con las que se conectan, estas investigaciones se mueven en el mundo de  las dimensiones de la ‘coherencia’ de la fase electrónica, en el mundo cuántico donde la coherencia no se ha perdido por efectos térmicos y disipación, la estabilidad estructural está garantizada en esta escala por el caos clásico.

Los sistemas bosónicos y fermiónicos son un excitante reclamo exploratorio en el ámbito de los sistemas mesoscópicos y quizá permitan encontrar los mecanismos subyacentes que gobiernan las leyes universales que los rigen.

He leído varias cosas y estoy en ello de este tema, no es esta nota la referencia de ninguna en concreta, solo pretende ser una llamada de atención al lector sobre un mundo maravilloso que está en este mundo, puedo citar por animarme tibiamente a  alguno, aunque seguro no es el más cercano al tema Stability and instability results in a model of Fermi acceleration by Jacopo de Simoi.

Busque el lector cuanta literatura al respecto dispersa  ya hay y adéntrese en este mundo.

Sofia Kovalesvkaya “souvenirs”

Una biografía matemática exhaustiva escrita en francés (Souvernirs sur Sofia Kovalevskaya). La enorme cantidad de información rigurosa que aporta, los escogidos ejemplos matemáticos que presenta su autora, Michèle Audin, las anécdotas interesantes, las peripecias de una mente brillante en la Europa machista de casi toda la historia de la humanidad.

Sofía Kovalevskaya (1850-1891) hizo aportaciones importantes y aún hoy fuente de inspiración en muchas ramas matemáticas. Fue una buena escritora y una buena discípula y amiga de algunos grandes (por ejemplo, Weierstrass, Mittag-Leffler) sin cuya ayuda no habría podido, quizá, llegar tan lejos como lo hizo. A veces las adversidades son una fuente de crecimiento y esto se nota en los más grandes.

Uno de los pasajes más bonitos del libro es aquel en que la autora, también matemática, recoge una preciosa carta que le escribió al gran y guapísimo G. Mittag-Leffler, es una delicia epistolar sin desperdicio.

Este trabajo merece la pena ser leído y recomiendo vivamente que lo hagan aquellos que gustan de la matemática, de la historia de la matemática y de la historia del talento humano.

La vida y la obra están perfectamente entrelazadas en este volumen, y es que a diferencia de otros grandes en los que solo hay obra a considerar, en esta persona hay vida rica y obra rica, hecho que no es infrecuente entre las mujeres de valía. He observado a través de estas grandes damas que no es necesario renunciar a la vida para desarrollar una actividad intelectual relevante, de cualquier índole. Algunas de ellas, las mejores, nos enseñan que las personas somos capaces de caminar a nuestro paso si queremos hacerlo y podemos hacerlo. De estas grandes chicas, estamos orgullosos todos los seres humanos, nos mejoran.

El libro está estructurado en 12 capítulos, contiene amplia bibliografía de consulta y gran número de fotografías, documentos, y ejemplos de las aportaciones de Sofía. Es muy ameno de leer y está bien articulado. Como está escrito con admiración y pasión, el libro desborda alegría. Se hacen presentes pequeños pasajes matemáticos muy bonitos, comentarios entre colegas (entre grandes colegas) notas, dudas, opiniones, estudios, reflexiones, visualizaciones, presentimientos matemáticos quizá…

No me decido a señalar alguna orientación más, hay decisiones que prefiero dedicar al lector.

La edición es de Calvage & Mounet, exquisitamente cuidada, y publicada en París, 2008

Leer a Arnold

Vladimir I. Arnold (1937-2010) Para no extenderme demasiado en esta ocasión y dejar que sea él mismo quien hable adjunto un documento que es una traducción de un prólogo de un libro suyo que ya comenté aquí. Quizá  todo lo demás sobra

Arnold_3

Teoría de las catástrofesRH-Arnold catástrofes

Sucintos comentarios sobre entes matemáticos interesantes (IX): espacios de configuración

Los sistemas mecánicos (y otros sistemas físicos) que son especialmente interesantes se modelizan encuadrados en un marco global que supone la generalización de las coordenadas locales y que con frecuencia se reconoce como espacios curvos, que en sentido ampliado se designan con la expresión espacios de configuración.

Los matemáticos enseñan que los espacios de configuración son indisociables con la modelización de un sistema del cual nos interesan sus propiedades globales. En ese sentido, la estructura matemática de pensamiento proponen que es necesario que las coordenadas locales han de cumplir unas condiciones para resultar útiles, lo que en sentido físico más tosco podríamos enunciar como que sean adecuadas o cómodas, un problema se ve mejor si se observa desde una posición adecuada. En esta situación hay que tener en cuenta y conjugar las necesidades de espacios de dimensión infinita que se presentan en muchos problemas de la física.

Como ejemplo de herramientas interesantes que es conveniente manejar con soltura para moverse en espacios de configuración con solvencia son inevitables las aplicaciones diferenciales (entre espacios de configuración). Piense el lector en los espacios vectoriales que tratados con las herramientas propias de los espacios de configuración conducen a las coordenadas curvilíneas, así algunos problemas geométricos se ven muy bien desde esta perspectiva (esferas, toros… cuestiones de geometría proyectiva), si se consideran las coordenadas clásicas y algunos casos que pensamos como prototípicos de la mecánica en los cuales estos son los espacios de configuración. Hay bastantes ejemplos muy bonitos y muy útiles, cabe citar el de los grupos de rotación de la mecánica del sólido que se mueve en torno a un punto, los cuales conllevan una geometría muy rica asociada a un sólido alrededor de un punto fijo, la idea de spin procede de las parametrizaciones clásicas de Euler y Cayley Klein para este caso.

Matemáticamente un espacio de configuración es un espacio topológico separado, en el que cualquier punto está rodeado de una bola abierta homeomorfa a un espacio vectorial; en definitiva, simplificando cabría decir que la información que proporcionan los espacios de configuración sobre los espacios mecánicos es la de todas las posiciones posibles y la dimensión de la variedad diferenciable que llevan asociados identifican los grados de libertad.

Mi propuesta en esta nota se relaciona con la voluntad constante que me anima a señalar al lector que pierda el miedo a adentrarse por caminos no trillados, lo fácil suele cansar antes y es de una belleza que se marchita pronto, en la enjundia de los libros buenos de cálculo variacional se encuentra más emoción y hermosura que en cualquier simplificación rápida… esa es la opinión que apoyo

Riemann, sobre algunos escritos científicos célebres y otros inéditos

Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. “Sobre las hipótesis subyacentes en la geometría” más o menos es mi traducción, título de la tesis de habilitación leída por Bernhard Riemann (1826-1866) el 10 de junio de 1854, en la facultad de filosofía de la Universidad de Göttingen, fue publicada muy posteriormente. Con este trabajo, Riemann parece que dejó perplejos a muchos de sus contemporáneos, aunque otros ya estaban muy al corriente de la excepcionalidad de este matemático, estudió bajo la férula de Jacobi (1804-1851) y Dirichlet (1805-1859) a quien sucedió en la cátedra en Göttingen.

Tengo una versión italiana de este trabajo, que junto con algunos escritos científicos inéditos y otros que no lo son tanto conforman un librito que guardo como una de las joyas de mi biblioteca personal.

Al atreverme a esbozar algunas palabras sobre una obra, quizá de las más importantes que he comentado hasta el momento aquí, no quiero engañar al lector con falsas esperanzas de que todo es fácil, asequible y está al alcance de cualquiera que sepa leer frases completas con sentido. Es un libro precioso e interesante, pero no hay concesiones a lo facilón, al menos en el escrito principal. Se debe leer, al menos yo así lo creo, sosegadamente, y varias veces. En fin si alguien piensa que ver lo que vio Riemann es difícil es que es difícil. En este volumen también he encontrado otros textos de menos enjundia conceptual, quizá algo más asequibles, también menos conocidos, algunos según señala el editor inéditos, pero tampoco son cosa de poco.

Puedo decir que he pensado y pienso mucho sobre las lecturas que contiene este libro, que es una fuente de ideas asombrosa, no se agota en sí mismo de ninguna manera. Da tantas alas, invita a seguir tanto… esboza tantas ideas que una intentaría desarrollar o que estimulan la imaginación y hacen sentir al lector un buen pensador.

Claramente una obra muy recomendable, siempre y cuando se disponga de un lugar donde dejarlo a mano, y retomarlo cuantas veces haga falta, y releerlo combinándolo con otras lecturas. Y desde luego hay que tener una buena base matemática sobre todo, pero también física y cultural en general. Yo animo a los lectores, a que trasciendan la divulgación y se atrevan a ahondar. No auguro arrepentimiento.

La edición que comento es de Bollati Boringhieri (Turín) de 2008, la más dura ni me atrevo a mencionarla

Teoría lagrangiana de campos

‘A veces es necesario poner un mar de por medio para ver las cosas más de cerca’, lamentablemente no recuerdo el nombre del autor, ni la obra, aunque creo recordar al músico y literato Alejo Carpentier, pero no afirmo con rotundidad.

La mayor parte de los estudiantes-estudiosos de  mecánica con los que voy tratando que disfrutan viendo las cosas de una manera cada vez más completa, vislumbrando cada vez más, suelen madurar el formalismo lagrangiano poniendo un mar de por medio.  Otros no, claro está, hay quienes se apropian desde el principio de esta poderosa herramienta, descarto a los que no logran interesarse.

Quizá lo primero que haya que tener presente cuando se acerca alguien a curioserar en esta fuente de sorpresas agradables, aunque quizá al principio duras, es que la máxima potencia del formalismo se consigue se consigue en sistemas de un número de grados de libertad elevados (el lector puede interpretar infinitos), como en la mecánica del continuo.

La teoría de campos es tan enorme que recubre la campiña en la cual podía estar situada escribiendo estas líneas o el lector encontrándose con ellas. Esta vasta teoría es de una riqueza extraordinaria cuando se utiliza en las teorías de las interacciones fundamentales y claro en la cuantificación de los campos.

Para leer sobre la teoría clásica de campos gravitacionales lo más bonito es leer los trabajos de Landau. En la teoría electromagnética de campos desempeñan un papel insustituible porque facilitan mucho la tarea y dan nueva luz a la misma.

Una manera bonita de introducirse en este terreno es estudiar la física de una cuerda vibrante, y de una manera elegantísima se obtiene la ecuación de ondas, la clave es la extensión al continuo, recuerde el lector a un número infinito de grados de libertad, en el que se observa con asombro de qué manera tan precisa el formalismo lagrangiano se adapta a este problema, como un guante.

Una vez el lector supera esta fase puede pasar a un orden superior y atreverse con la ecuación de difusión de Fourier, que se puede tratar como un fenómeno disipativo (no es reversible). Aquí ya se puede enlazar con la ecuación de Schrödinger y estudiarla con este punto.

Pero quizá el lector debería detenerse con mucho tiempo por delante en el caso del campo electromagnético, porque si logra superarlo habrá llegado mucho más lejos que la mayoría. El campo magnético que es inseparable de las partículas cargadas, sus fuentes.

Me gustaría que alguna persona se lanzara al interior de este mundo, esa una osadía que en unos cuantos renglones se logre despertar el interés, pero si se consigue mínimamente lo doy por bueno.

Un artículo de Einstein recuperado en el siglo xxi

Una traducción de un artículo ‘inédito’ de Albert Einstein (1879-1955) datada en 2006, se refiere, en el plano teórico, a la superconductividad el traductor a quien esta lectora agradece el trabajo es Bjoern S. Schmekel, introduzco el título sin alargar más Theoretical remark on the superconductivity of metals en -arXiv.org-.

superconductividad

Tras una breve introducción sobre el carácter y el valor del experimento científico en la elaboración de las teorías físicas, o lo que es lo mismo -más o menos-, en la construcción del conocimiento racional del mundo, entra de lleno en el problema que pretende abordar que no es otro sino el de la evolución de la idea de conductividad de los metales debido, en parte, a la ‘revolucionaria’ noción de superconductividad. Para llegar a entablar una analogía con la teoría cinética de los gases va desgranando el autor sus argumentos, y así las conductividades eléctrica y térmica tan propias de las sustancias metálicas se muestran en correlación inmediata  con movimiento de electrones y de ahí se pasa, casi sin solución de continuidad, a la analogía con la teoría cinética de los gases. La traslación se hace considerando el papel que desempeñan las moléculas de los gases como representado por los electrones.

En el artículo continúa la simpatía por la comparación entre teorías por la idea de dar buenos resultados numéricos: predice adecuadamente índices y coeficientes de valor experimental y otros motivos similares. La relación de la resistencia con la temperatura metálica, en general todos los tópicos de la materia son tratados con fluidez, explicados con claridad y por decirlo en resumen resultan bien contados, aparecen la teoría cuántica como fuente de explicación, Rutheford, los movimientos de los electrones en las superficie de los metales.

A mí me parece un artículo muy agradable de leer, muestra un encadenamiento de razones y razonamientos de manera natural, clara y bien expuesta. Un enseñanza para todo lector ávido de ciencia es que la cultura en general y la científica en particular es una fuente natural de conocimiento científico que puede alimentar la intuición y la imaginación creadora, además de proporcionar noticias de cosas que son válidas.

Un artículo muy recomendable para estudiosos, y para los amigos de leer Einstein.

Agradezco la cuidada traducción, y la puesta en Arxiv de este trabajo

Arnold: ‘singularidades, bifurcaciones y catástrofes’

En el librito divulgativo para personas con conocimientos matemáticos que escribió Arnold (1937-2010), cuenta las peripecias del nacimiento de la teoría de las catástrofes para el público. Así, explica que en Newsweek se hablaba de ‘una revolución en matemática parangonable a la invención de Newton del cálculo diferencial e integral’, se decía también que ‘la nueva ciencia, la teoría de las catástrofes, era más útil a la humanidad que el análisis matemático’ esto se justificaba ‘porque la teoría de Newton trata solo de procesos continuos, sin embargo la teoría de las catástrofes proporciona un método universal para estudiar cualquier transición brusca, discontinuidades y variaciones cualitativas imprevistas’.

Las publicaciones científicas de investigación se poblaron (pero no solo, también las divulgativas) de los más diversos objetos de estudio: óptica geométrica, embriología, linguística, psicología experimental, economía, geología, teoría de las partículas elementales, movimientos cardiacos…

Antes de que en los años setenta se convirtiese en una teoría de moda ya se había establecido proyectos de investigación y estudio sobre sobre modelos de actividad cerebral, estabilidad de las naves, modelos sociológicos…

Todo ello lo cuenta el recientemente fallecido maestro Arnold, que ha pasado a pertenecer al panteón de los clásicos ilustres con una escritura elegante, sin concesiones, ni facilona, pero haciendo mucho más sencillo conceptos de gran complejidad.

Como me gustan mucho las definiciones de los conceptos con que se muestra el título de esta nota, paso a escribir la definición que él proporciona en la versión italiana que tengo a mano (se trata de una versión supervisada personalmente por él):

  • La teoría delle singolarità è un’ampia generalizzazione dello studio delle funzioni nei punti di massimo e di minimo. Nella teoria di Whitney le funzione sono sostituite dalle mappe, ossia da collezioni di più funzioni di molte variabili.
  • La parola biforcazione è usata in senso generale per designare ogni sorta di riorganizzazione o perestroika di diversa entità, risultate da un cambiamento de parametri da cui dependono.
  • Le catastrofi sono bruschi mutamenti che avvengono como reazione improvvisa di un sistema sottoposto a una variazione regolare delle condizioni esterne. Per capire di che cosa si occupa la teoria delle catastrofi è necessario conoscere gli elementi della teoria delle singolarità di Whitney.

Quizá en otra ocasión escriba alguna cosa sobre Whitney. En esta nota ya hay algún material para entretener al lector, eso creo.

Teoria delle catastrofi by Vladimir I. Arnold. Aquí también escribí una entrada Arnold…

Kolmogorov, su legado para la teoría KAM

Ando dando muchas vueltas a los movimientos oscilatorios,  newtonianos, relativistas, pensando en principios variacionales, en topología de la que lo ignoro casi todo y en otros quehaceres menos placenteros. En estas materias, adelanto al lector, que siempre aconsejaré introducirse de la manera que cada cual encuentre a su alcance o en su camino, no todo lo hermoso es fácil. Y estas materias reúnen estas dos características la hermosura y el constante esfuerzo para encontrarse cómodo en ellas. No negaré que todo es algo más sencillo una vez dentro, pero a la manera semiverdadera de la sencillez de la costumbre.

Tengo entre mi documentación un bonito artículo dedicado a Kolmogorov (1903-1988), y a su contribución a la teoría KAM, se trata de un trabajo KAM theory: the legacy of Kolmogorov’s 1954 paper by Henk W. Broer. En el resumen introductorio, el autor acerca al lector a una de las teorías matemáticas trascendentes del siglo pasado, teoría con aplicación en Mecánica Celeste y en física de altas energías, entre otras fundamentales materias.

Broer cuenta que Arnold, Moser y Kolmogoror elaboraron esta teoría para sistemas dinámicos conservativos casi integrables. Los sistemas integrables en su espacio de fases generalmente contienen muchos toros integrables y la teoría KAM establece la persistencia de los resultados para dichos toros que suponen movimientos casi periódicos.

Broer describe en su artículo el origen de esta teoría que tuvo su origen con el artículo de 1954 publicado por Kolmogorov a que hace alusión el título del paper.

Un bonito bosquejo histórico científico que merece la pena leer. Por no empezar en “Érase una vez en la ciudad de Ámsterdam…” o quizá “Ocurrió que se celebra un congreso de matemáticos allá por el año 1954…” Cualquier inicio de tipo legendario sería bonito y atrayente para narrar esta historia.

Conviene eso sí estar algo familiarizado con sistemas dinámicos, teoría ergódica, mecánica celeste clásica, sistemas hamiltonianos; no solo no es aconsejable empezar partiendo de cero, sino que posiblemente sea inabordable la lectura en este supuesto.

Me limito aquí como en otras ocasiones a apuntar con el dedo hacia una estrella en el cielo, con el propósito no de que el lector interesado mire mi dedo, sino que se fije en una hermosa estrella. Son solo 21 páginas de buena e intensa lectura. Un trabajo arduo de compilación científica. Las 72 referencias a cual mejor, en distinto campo abren caminos, y no tienen desperdicio.

Entre el lector en el mundo KAM

En torno a la refracción de la luz…

Los debates científicos son largos y duran mucho tiempo, tienen el atractivo inconveniente de que implican a muchas personas que no siempre están próximas en distancia física, aunque a veces sí lo estén en distancia intelectual, espiritual, emocional o de cualquier otra manera del estilo humano. Me acojo a mi “libre albedrío” de elegir el tema que cuento al lector posible, y me centro esta vez en un fragmento de un libro precioso de Florence Martin Robin Histoire du Principe de Moindre Action, el asunto es la discusión entre Descartes (1596-1650) y los cartesianos sobre la naturaleza de la refracción de la luz. Las ideas y venidas, los símiles mecánicos tan ingeniosos y brillantes como fllojos en algunos puntos más o menos flagrantes. Los límpidos e impecables razonamientos, veo a Descartes como la autora (y quizá un poco a través de ella) como un científico más que como un filósofo, que es el perfil que más se pone en valor en la escuela, aquél en que convergen los rayos de luz y, aquí juego fácilmente a las palabras bonitas y a los requiebros. El asombroso modelo mecánico que Descartes usa no está agotado, aunque pareciera marchitarse algún tiempo después de que su valedor dejara de sostenerlo con fuerza.

He visto y leído a matemáticos vivos y contemporáneos aplicar cuidadosamente modelos mecánicos similares para desarrollar sus teoremas, para sacar sus pequeñas (más o menos) conclusiones y para poner en circulación en el mundo sus aportaciones al mundo. He visto como artículos cuasi fundacionales o al menos seminales de grandes físicos que juegan con la teoría de campos, con el electromagnetismo más o menos acondicionado y con algunas pequeñas-grandes observaciones pero sobre todo muy fecundas, conducen a estudios y sobre estudios y problemas abiertos y desarrollos matemáticos y creación de nuevos objetos, mientras escribo estoy pensando en Fermi (1901-1954), y en un artículo suyo sobre el origen de la radiación cósmica. Después artículos y artículos sobre modelos mecánicos, pero como excusa para nuevas ecuaciones, y desarrollos matemáticos que sobrepasan la mecánica, la óptica y sus continuos enredos de ida y vuelta. Matemáticos más o menos jóvenes y más o menos prestigiosos que descubren nuevas ruedas. La rueda que Descartes que inventó Descartes o. No está mal, pero hay antecedentes de casi todo.

Recomiendo la lectura de la obra completa a quienes conociendo el francés, disfruten de la historia de la ciencia bien hecha.

La edición es de Vuibert, París, 2005

Seguir

Recibe cada nueva publicación en tu buzón de correo electrónico.