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Un tema matemático bonito (X): el teorema de Liouville

De los varios teoremas importantes debidos a Liouville (1809-1882) aquí quiero destacar el que conocen todos los que se interesan por  los sistemas dinámicos, la mecánica celeste y la estética estructural de los conceptos que involucran. Una manera de enunciar este teorema muy matemática, pero al mismo tiempo muy visual para la física es la siguiente:

Un volumen del espacio de fases permanece invariable durante la evolución hamiltoniana del sistema.

Esta propiedad geométrica deriva de las estructuras de las ecuaciones de Hamilton, pero sin embargo no depende de la particular forma que tenga el hamiltoniano en cada caso. La evolución en el espacio de fases [ xi, pi ] es una representación geométrica especialmente útil en mecánica. Cada estado del sistema se corresponde con un punto en el espacio de fases, de otra manera la evolución del sistema hace que el punto se desplace en el espacio de fases.

La función de Hamilton H(x, p) que está definida en el espacio de fases que es una propiedad geométrica también muy valiosa, si se define un campo de vectores (piense el lector en las coordenadas conjugadas), se define el flujo de este  campo de vectores, como el conjunto de las curvas cuya tangente en cada punto es colineal al vector en ese punto.

Paulatinamente el lector que efectúa estudiosamente se decide a entender las posibilidades que este teorema encierra va caminando paso a paso desde la mecánica analítica hacia la mecánica cuántica con una guía adecuada y un no desdeñable pero entrañable esfuerzo se encuentra camino de la mano de la matemática de la una a la otra. Es una grata coincidencia la asombrosa analogía que se puede vislumbrar entre la estructura de la mecánica analítica y la estructura de la mecánica cuántica.

El teorema de Ehrenfest podría servir de comentario o de teorema de paso entre ambos mundos, es una especie de ventana que se abre y permite el paso de un paisaje a otro, es atravesar el umbral de un mundo a otro. Y en ese borde maravilloso, en ese atravesar el espejo me quedo a reflexionar, hay otros ejemplos similares, ojalá el lector recoja la belleza que de este modo se entrevé…

 

Avances y conjeturas acerca de los espacios De Sitter

El universo en expansión según las predicciones de la teoría de la relatividad general de Einstein (1879-1955) recibe el nombre técnico de espacio de Sitter (1872-1934); de otra manera, unas soluciones exactas de las ecuaciones de campo einstenianas que se traducen en expansión se conocen entre los expertos con estas siglas DS.

Recientemente he tenido ocasión de leer un artículo muy interesante, que es un estudio cosmológico centrado en la teoría de cuerdas que gira alrededor de estas ideas que van y vienen desde que se formularon por vez primera, y que han madurando y creciendo desde su primera expresión con la aportación de los estudiosos del tema y el soporte inestimable de los nuevos conocimientos tecnológicos. Los autores hacen un trabajo físico matemático, y describen inicialmente el marco general de su estudio considerando un espacio-tiempo De Sitter dotado de un observatorio eterno (la idea inicial es preciosa), matemática lo formulan como un DS considerado en un futuro asintóticamente. En esta situación, la descripción clásica de la métrica asociada en la frontera conlleva la deformación asociada al flujo de la radiación gravitacional.

Para superar esta condición, los investigadores proponen un futuro no convencional, en el sentido anteriormente descrito, con una condición Dirichlet (1805-1859) en la frontera, que con otra métrica resulta violar el principio convencional de causalidad, aunque según los autores estas violaciones no se detectan en los experimentos realizados en el observatorio eterno (como metafísica sigue siendo fantástico).

Como punto de partida atrayente no tiene desperdicio, el artículo es largo y está lleno de recovecos conceptuales que no son asequibles para la mayoría de los no expertos. Para entenderlo de verdad hay que manejarse bien con tensores y métrica conforme, estar familiarizado con la métrica lorentziana, del espacio-tiempo, con la esfera de Riemann y en definitiva estar en grado de leer documentos matemáticos no   fáciles.

Las conclusiones lejos de ser cosa de poco invitan a seguir por el camino de los nuevos paradigmas cosmológicos y modelísticos que se empezaron a forjar el siglo pasado, pero que aún permanecen en mantillas deseosos de ser utilizados.

Mi idea con esta reseña es involucrar a los interesados en el acercamiento a las teorías cosmológicas en estudio en la actualidad referenciándolas con los estudios inciados en la teoría de la relatividad.

Future Boundary Conditions in De Sitter Space by Dionysios Anninos, Gim Seng Ng and Andrew Strominger

Un breve sobre computación

La revolución computacional por ponerle un nombre de cambio social similar a la revolución industrial tiene consecuencias impredecibles y muchas me gustan. Me gustan de presente y de imaginar el futuro.

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Los sistemas físicos programados para calcular, simular y efectuar trabajos no son ‘perfectos’; de otra manera: los ordenadores cometen errores. La combinación de modelización y simulación con la inestimable ayuda, en todas las etapas del proceso, de las matemáticas producen gran cantidad de información de interés en campos muy dispersos al menos aparentemente. Los algoritmos rápidos útiles para computación son valiosísimos para calcular toda suerte de valores importantes para asuntos de interés a los humanos. Sin embargo, los resultados no son perfectos y los errores de cada paso se van acumulando hasta el final del cálculo lo cual significa que hay que tener mucho cuidado de este resultado siempre, pero dependiendo del asunto mucho más que mucho cuidado.

El asunto es fácilmente comprobable sin ser ingeniero o científico, cualquier no experto que es usuario ha notado alguna vez la discrepancia entre máquinas al leer un documento, pero claro en ocasiones estas minucias pueden encubrir problemas que es preciso solventar. Para la vida cotidiana afectan asuntos relacionados con la meteorología, sobre todo en aquellas regiones con climas más o menos extremos, todo el mundo está pendiente de las predicciones, y se molesta con los pequeños errores en su región, pero hay errores o acumulaciones de errores computacionales más llamativos como los que se han producido con misiles en la guerra del golfo o en la célebre explosión del Ariane 5.

La idea que subyace en esta breve nota es que los ordenadores en los cuales sustentamos gran parte de nuestra actividad cotidiana son sistemas físicos y conviene no cargar toda la responsabilidad de sus ‘deficiencias’  a cuestiones fortuitas, que es un error de desconocimiento. Disfrutemos de las enormes ventajas de estos más que instrumentos y herramientas, estudiémoslo con alegría y ahínco pero sin olvidarnos de dónde estamos.

Existen gran variedad de lecturas sobre ordenadores, un ejemplo “Arithmétique des ordinateurs et preuves formelles”. Invito a la reflexión.

Sistemas mesoscópicos

La frontera entre el mundo clásico y el cuántico es un campo muy fructífero de estudio e investigación en la físico-matemática actual. La interfaz entre ambas disciplinas aquí se diluye, los lenguajes se entremezclan y se combinan, los intereses se transfieren de unos a otros. El objeto de nuestro estudio nos torna indistinguibles, estamos ante un nuevo nacimiento de ‘la’ ciencia moderna. 

En este desarrollo científico que se está produciendo la idea de simetría (de nuevo) cobra una fuerza especial porque parece ser la que ‘pone orden’ en este mundo emergente.

En la frontera entre el mundo clásico y el cuántico viven los sistemas mesoscópicos cuyas propiedades  de transporte y de espectro se rigen por leyes matemáticas asociadas a la simetría, y es en el mundo de la simetría donde se buscan los objetos matemáticos que definen, describen y escriben estos sistemas de cuyo interés tecnológico para la construcción de dispositivos electrónicos nanométricos se tenía amplia constancia, y que además se muestra como  fascinante fuente de conocimiento y creación en la ciencia básica. La gran variedad de fenómenos que originan son una mina rica de ideas para la creación científica.

Los objetos matemáticos asociados son espacios simétricos (compactos y no compactos) cuya geometría y análisis están desarrollando equipos de investigación matemáticos, la teoría de campos las supervariedades diferenciables y todo el utillaje matemático exploratorio está en marcha y en funcionamiento. En cuanto a las ideas y estructuras fijas con las que se conectan, estas investigaciones se mueven en el mundo de  las dimensiones de la ‘coherencia’ de la fase electrónica, en el mundo cuántico donde la coherencia no se ha perdido por efectos térmicos y disipación, la estabilidad estructural está garantizada en esta escala por el caos clásico.

Los sistemas bosónicos y fermiónicos son un excitante reclamo exploratorio en el ámbito de los sistemas mesoscópicos y quizá permitan encontrar los mecanismos subyacentes que gobiernan las leyes universales que los rigen.

He leído varias cosas y estoy en ello de este tema, no es esta nota la referencia de ninguna en concreta, solo pretende ser una llamada de atención al lector sobre un mundo maravilloso que está en este mundo, puedo citar por animarme tibiamente a  alguno, aunque seguro no es el más cercano al tema Stability and instability results in a model of Fermi acceleration by Jacopo de Simoi.

Busque el lector cuanta literatura al respecto dispersa  ya hay y adéntrese en este mundo.

Sofia Kovalesvkaya “souvenirs”

Una biografía matemática exhaustiva escrita en francés (Souvernirs sur Sofia Kovalevskaya). La enorme cantidad de información rigurosa que aporta, los escogidos ejemplos matemáticos que presenta su autora, Michèle Audin, las anécdotas interesantes, las peripecias de una mente brillante en la Europa machista de casi toda la historia de la humanidad.

Sofía Kovalevskaya (1850-1891) hizo aportaciones importantes y aún hoy fuente de inspiración en muchas ramas matemáticas. Fue una buena escritora y una buena discípula y amiga de algunos grandes (por ejemplo, Weierstrass, Mittag-Leffler) sin cuya ayuda no habría podido, quizá, llegar tan lejos como lo hizo. A veces las adversidades son una fuente de crecimiento y esto se nota en los más grandes.

Uno de los pasajes más bonitos del libro es aquel en que la autora, también matemática, recoge una preciosa carta que le escribió al gran y guapísimo G. Mittag-Leffler, es una delicia epistolar sin desperdicio.

Este trabajo merece la pena ser leído y recomiendo vivamente que lo hagan aquellos que gustan de la matemática, de la historia de la matemática y de la historia del talento humano.

La vida y la obra están perfectamente entrelazadas en este volumen, y es que a diferencia de otros grandes en los que solo hay obra a considerar, en esta persona hay vida rica y obra rica, hecho que no es infrecuente entre las mujeres de valía. He observado a través de estas grandes damas que no es necesario renunciar a la vida para desarrollar una actividad intelectual relevante, de cualquier índole. Algunas de ellas, las mejores, nos enseñan que las personas somos capaces de caminar a nuestro paso si queremos hacerlo y podemos hacerlo. De estas grandes chicas, estamos orgullosos todos los seres humanos, nos mejoran.

El libro está estructurado en 12 capítulos, contiene amplia bibliografía de consulta y gran número de fotografías, documentos, y ejemplos de las aportaciones de Sofía. Es muy ameno de leer y está bien articulado. Como está escrito con admiración y pasión, el libro desborda alegría. Se hacen presentes pequeños pasajes matemáticos muy bonitos, comentarios entre colegas (entre grandes colegas) notas, dudas, opiniones, estudios, reflexiones, visualizaciones, presentimientos matemáticos quizá…

No me decido a señalar alguna orientación más, hay decisiones que prefiero dedicar al lector.

La edición es de Calvage & Mounet, exquisitamente cuidada, y publicada en París, 2008

El piano y la física

Captura de pantalla 2014-02-25 a la(s) 00.26.56El pianoforte, instrumento complicado, y la música, forma de la pasión y del conocimiento, como la física y quizá a veces las mates, al menos para mí y para algunas otras personas que me constituyen.

Un sistema mecánico para producir sonido de una capacidad excelente, protagonista en los grupos musicales casi siempre, poco acostumbrado en estos casos a ceder su papel de privilegio, pero que lo puede, lo sabe y lo hace en ocasiones sin
complejos. Un instrumento majestuoso. Cuando el pianista ataca una tecla con cualquiera de sus dedos, un martillo golpea una, dos o tres cuerdas simultáneamente, la nota, como consecuencia de ello la cuerda o las cuerdas vibran, el conjunto de todas las cuerdas es un arpa cromática que se acciona indirectamente, el tablero armónico amplifica las vibraciones, recibe la energía de las cuerdas y vibra en el mueble que contiene este mecanismo y después solo la lectura del sonido y nosotros.

Aunque esto es un esquema muy simplificado contiene en resumen el proceso principal de la producción sonora de este mecanismo. Lo que aquí quería contar es que cada una de estas etapas se puede escribir y modelizar por una ecuación que procede de las leyes de la física que intervienen en este proceso. Para obtener las soluciones de este modelo habrá que recurrir a cálculo numérico, porque los métodos del análisis no son viables.

Como estoy muy interesada en la simulación computacional me ha parecido muy divertido un pequeñísimo artículo que leí, en el que se simulaba un piano imposible, con acústica propia de un piano real. El sonido que se produce con estos instrumentos virtuales actúa sobre el cerebro causando sobre él una sensación de objeto físico. Un piano virtual e imposible en lo real que impresiona el cerebro como un piano real.

Fantástica opción para los compositores musicales y para los investigadores científicos en armonía, tal vez.

Se puede leer también el breve sobre la cuerda vibrante, modelo simple y precioso en estas páginas

Leer a Arnold

Vladimir I. Arnold (1937-2010) Para no extenderme demasiado en esta ocasión y dejar que sea él mismo quien hable adjunto un documento que es una traducción de un prólogo de un libro suyo que ya comenté aquí. Quizá  todo lo demás sobra

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Teoría de las catástrofesRH-Arnold catástrofes

Sucintos comentarios sobre entes matemáticos interesantes (IX): espacios de configuración

Los sistemas mecánicos (y otros sistemas físicos) que son especialmente interesantes se modelizan encuadrados en un marco global que supone la generalización de las coordenadas locales y que con frecuencia se reconoce como espacios curvos, que en sentido ampliado se designan con la expresión espacios de configuración.

Los matemáticos enseñan que los espacios de configuración son indisociables con la modelización de un sistema del cual nos interesan sus propiedades globales. En ese sentido, la estructura matemática de pensamiento proponen que es necesario que las coordenadas locales han de cumplir unas condiciones para resultar útiles, lo que en sentido físico más tosco podríamos enunciar como que sean adecuadas o cómodas, un problema se ve mejor si se observa desde una posición adecuada. En esta situación hay que tener en cuenta y conjugar las necesidades de espacios de dimensión infinita que se presentan en muchos problemas de la física.

Como ejemplo de herramientas interesantes que es conveniente manejar con soltura para moverse en espacios de configuración con solvencia son inevitables las aplicaciones diferenciales (entre espacios de configuración). Piense el lector en los espacios vectoriales que tratados con las herramientas propias de los espacios de configuración conducen a las coordenadas curvilíneas, así algunos problemas geométricos se ven muy bien desde esta perspectiva (esferas, toros… cuestiones de geometría proyectiva), si se consideran las coordenadas clásicas y algunos casos que pensamos como prototípicos de la mecánica en los cuales estos son los espacios de configuración. Hay bastantes ejemplos muy bonitos y muy útiles, cabe citar el de los grupos de rotación de la mecánica del sólido que se mueve en torno a un punto, los cuales conllevan una geometría muy rica asociada a un sólido alrededor de un punto fijo, la idea de spin procede de las parametrizaciones clásicas de Euler y Cayley Klein para este caso.

Matemáticamente un espacio de configuración es un espacio topológico separado, en el que cualquier punto está rodeado de una bola abierta homeomorfa a un espacio vectorial; en definitiva, simplificando cabría decir que la información que proporcionan los espacios de configuración sobre los espacios mecánicos es la de todas las posiciones posibles y la dimensión de la variedad diferenciable que llevan asociados identifican los grados de libertad.

Mi propuesta en esta nota se relaciona con la voluntad constante que me anima a señalar al lector que pierda el miedo a adentrarse por caminos no trillados, lo fácil suele cansar antes y es de una belleza que se marchita pronto, en la enjundia de los libros buenos de cálculo variacional se encuentra más emoción y hermosura que en cualquier simplificación rápida… esa es la opinión que apoyo

Astronomía y Arqueología

Dos ciencias que se hermanan sin mucha dificultad cuando se torna la mirada hacia atrás. La una se apoya en la otra para entender nuestro pasado que es su campo de estudio. Para entender a nuestros predecesores, a quienes nos parecemos asombrosamente, mucho más de lo que imagina cualquier ciudadano medio, quizá bastaría que nos entendiésemos a nosotros mismos y que hiciésemos la traslación culturo-temporal correspondiente.

Quiero tratar aquí de una comunicación oral a un congreso que me fue otorgada en calidad personal, sin embargo que por su valor puede animar al lector a buscar fuentes, si es que considera que hay dos disciplinas que reuniéndose pretenden acercarnos, en la medida de sus posibilidades, al entendimiento más perfeccionado que los seres humanos siempre ávidos aspiramos a tener de nosotros mismos.

Mi joven amigo arqueólogo italiano me mostró que la Astronomía y la Arqueología llevan 300 años viajando juntos, en el pequeño repaso histórico, me presentó a los principales, nombres, sus logros y sus teorías, las dificultades, el nacimiento del controvertido híbrido la Arqueoastronomía y que la relación es difícil, el camino escabroso y el campo en el que se mueve fascinante. Saber las razones de nuestros antepasados, los ingenios que lograron construir para medir posiciones, hacer calendario, conocer en suma los ciclos naturales para poder  preservar sus intereses terrestres.

Le falta madurez a este híbrido, la carencia de consenso y de consideración hace difícil que el crecimiento sea rápido y el desarrollo positivo, hay que restañar heridas de unos a otros, encontrar un método de trabajo unificador o al menos no disipador de energía. Una puesta en común de logros, teorías, suposiciones y disfrutes de diferente índole todas unidas al ‘viaje’ y al ‘cielo’ es decir a la condición humana en su estado más puro desde la noche de los tiempos, en donde la noche significaba la oscuridad, las estrellas, la espera de la mañana, la esperanza del mañana, en fin donde la noche significaba casi lo mismo que ahora, que apenas la vislumbramos.

Parece claro que la belleza formaba parte de la vida de nuestros ancestros. Bueno no se ha perdido todo. Recomiendo a los lectores interesados en buscar y leer temas de Astronomía cultural y Arqueoastronomía, no sé lo que hay escrito y me temo que haya mucho gato por liebre, pero aunque no sea oro todo, algo de lo reluciente vale la pena.

Jody Morellato es el nombre del arqueólogo italiano encantador que me regalo su presentación: Archeaology and Astronomy. A 300 years voyage

Un ejemplo de la relación entre matemáticas y la ingeniería

images (1)picasso-mujeres1Los métodos matemáticos y la informática aplicados a la ingeniería de minas proporcionan unas herramientas valiosísimas de trabajo que complementan los trabajos tradicionales de los ingenieros. Un ejemplo más de la interrelación entre la ciencia pura y la ciencia aplicada y la ingeniería. Leí un trabajo, que es un proyecto de fin de carrera de un joven ingeniero de minas, y me llamó la atención -prueba inequívoca de mi bisoñez en estos asuntos- que en el estudio de la autoignición de materiales de riesgo se tuviera en cuenta no solo las características de dichos materiales, como las propiedades físicas y cinéticas sino que también considerase de interés las características geométricas del mismo. Normalmente la física y la geometría suelen ser amantes muy cariñosos entre sí, pero no había caído que en cuestiones puramente de estrategia y conducta ingenieril tuvieran su valor y su interés.

Este pequeño trabajo de investigación que me parece laborioso y bien dirigido es un estudio minucioso y que contempla muchos aspectos implicados en la estrategia de trabajo de los ingenieros de minas, personas que miran la Tierra desde una perspectiva muy diferente a como la miramos aquellos a quienes nos gusta contemplar por encima de cualquier otra cosa el cielo y el mar. Una mirada inteligente y humana que tiene también en cuenta aspectos económicos, asunto que lo torna aún más relacionado con el ser humano completo que todos pretendemos llevar dentro. O con el que soñamos alcanzar. A. H., mi sobrino que es el autor de este trabajo, estoy segura de que ha hecho un esfuerzo considerable en su primera experiencia de investigador, no solo en el camino de la ciencia aplicada, sino también en el camino de persona, de ser humano que da sus pasos primeros por la vida y por la comprensión del mundo. No sé dónde llegará, pero espero que sea dichoso en su andadura este trabajito es un bonito comienzo, le auguro suerte y le dedico estos párrafos.

[...]condiciones de autoignición en pilas de materiales sólidos de riesgo, tales como escombreras, parques de carbón, almacenamiento de purinas, abonos, fertilizantes, materiales agrícolas, etc.[...]

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